带电粒子在等效重力场中圆周运动模型的分析策略

赵生武

摘要：基于学生的认知水平和认知规律，运用等效类比的物理思想，建构解决带电粒子在等效重力场中圆周运动模型的思维路径，既能体现物理思想方法在高中物理教学中的重要性，又能有效培养学生的思维品质和解决实际问题的能力.

关键词：等效重力场;思维进阶;等效类比;圆周运动

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0097-03

带电粒子在等效重力场中的圆周运动模型能够充分体现高考评价体系中“综合性”的考查要求，高考备考过程中应当高度重视.问题的设置会涉及受力分析、力的合成、牛顿运动定律、圆周运动、电场能的性质以及功能关系等主干知识的综合，问题解决需要物理学中的等效、类比、合成等物理思想方法.由于学生缺乏对物理知识的系统化、结构化建构意识和物理思想方法的深刻理解及灵活应用，所以难以全面分析和求解此类运动模型问题.基于学生从简单到复杂、从直观到抽象的认知逻辑规律，依据如图1所示的思维路径，将带电粒子在电场中的圆周运动模型作为思维桥梁，应用等效、类比、迁移思想，逐步进阶，不断深入，就能取得事半功倍的学习效果.

1 思维进阶分析

进阶一：物体在重力场中竖直平面内的圆周运动

全面理解物体在重力场中竖直平面内圆周运动的运动学特征是求解带电粒子在等效重力场中圆周运动的基础.

如图2所示，质量为m的小球在竖直平面内半径为R的光滑圆轨道内侧做圆周运动，A点为圆轨道的最低点，B点为圆轨道的最高点，C点为圆轨道圆心O的等高点.设小球在A、B点的速度分别为vA、vB，轨道对小球的弹力分别为FA、FB，由牛顿第二定律得：FA-mg=mv2AR，FB+mg=mv2BR，小球从A到B过程中由动能定理得：-mg·2R=12mv2B-12mv2A，综合分析得出以下运动学特征：

特征一：若小球处于平衡状态，则小球会静止在最低点A，即最低点A为小球的平衡位置，最高点B到最低点A的连线方向恰好为重力加速度g的方向，圆心等高点C与圆心的连线OC垂直于最高点B到最低点A的连线方向.

特征二：小球在圆轨道内侧运动过程中，通过最低点A时，小球的速度最大，轨道对小球的弹力最大.

特征三：小球在圆轨道内侧运动过程中，通过最高点B时，小球的速度最小，轨道对小球的弹力最小.在B点当轨道对小球的弹力FB=0时，对应小球速度vBm=gR，vBm为小球做完整的圆周运动在最高点的最小速度，由动能定理可知，对应小球在A点的速度vA1=5gR.

特征四：若小球運动到C点时速度恰好为零，对应在A点的速度为vA2，则12mv2A2=mgR，即vA2=2gR.

特征五：若小球不脱离轨道运动，则通过最低点A点的速度vA满足条件：vA≥vA1=5gR或0<vA

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vA2=2gR.

进阶二：带电粒子在电场中的圆周运动

分析带电粒子在匀强电场中做圆周运动情景时，运用等效类比思想确定等效最低点、等效最高点和等效圆心等高点，合理应用进阶一的五个特征是分析带电粒子在等效重力场中运动问题的思维桥梁.

如图3所示，一质量为m ，电荷量为q（q>0），不计重力的带电粒子在电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中沿半径为R的光滑绝缘圆轨道内侧运动.对带电粒子进行受力分析，运用类比思想，可将匀强电场看作等效重力场，则A1点为等效最低点，B1点为等效最高点，C1点等效圆心等高点，等效重力加速度大小为g1=qEm，方向水平向右，粒子在运动过程中具有与进阶一相似的特征.

进阶三：带电粒子在等效重力场中的圆周运动

正确分析带电粒子在重力场、电场中的受力情况，将重力和电场力合成，并将其合力看作等效重力，将重力场、电场看作等效重力场，进而确定等效重力加速度、等效最低点、等效最高点、等效圆心等高点.这是处理带电粒子在等效重力场中运动问题的关键.

如图4所示，竖直平面内有水平向右、场强为E的匀强电场，一质量为m，电荷量为q（q>0）的带电粒子沿着光滑绝缘圆轨道内侧运动，已知重力加速度为g.当粒子在重力、电场力、弹力作用下处于平衡状态时，重力mg、电场力qE的合力与弹力FN大小相等、方向相反，粒子静止在A2点，则A2点为等效重力场中的等效最低点，与A2点在同一直径上的B2点等效重力场中的等效最高点，与连线A2B2垂直方向上的C2点为等效重力场中的圆心等高点.设重力mg、电场力qE的合力F与竖直方向的夹角为θ，则等效重力mg′=F=（mg）2+（qE）2=mgcosθ，等效重力加速度g′=Fm=（mg）2+（qE）2m=gcosθ，等效重力加速度g′的方向与竖直向下的方向夹角为θ.运用等效类比思想，将进阶一中的五个特征迁移应用，则能迅速求解带电粒子在等效重力场中圆周运动问题.

2 典型例题展示

例题1如图5所示，匀强电场中有一半径为r的光滑绝缘圆轨道，轨道平面与电场方向平行.a、b为轨道直径的两端，该直径与电场方向平行.一电荷量为q（q>0）的质点沿轨道内侧运动，经过a点和b点时对轨道压力的大小分别为Na和Nb，不计重力，求电场强度大小E和质点经过a点和b点的动能.

点评试题考查牛顿第二定律与动能定理的综合应用.分析质点的运动模型，类似于竖直平面内的圆周运动.通过类比方法可以更加清晰地理解质点的动力学特征和能量特征.

例题2如图6所示，细线一端固定在O点，另一端拴一带电小球，处于竖直向下的匀强电场中.现给小球某一初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，则（）.

A.小球可能做匀速圆周运动

B.当小球运动到最高点时，细线的拉力一定最小

C.当小球运动到最低点时，小球的线速度一定最大

D.当小球运动到最低点时，小球的电势能一定最大

点评试题考查小球在电场力、重力和线拉力作用下的圆周运动问题分析.运用等效思想建构等效重力场模型，根据受力分析确定等效重力场中圆周运动的等效最高点、等效最低点位置，将重力场中小球做圆周运动的特征迁移应用到等效重力场，便能分析带电小球在不同带电情景下的运动规律.

例题3如图7所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点.该区域存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ=60°，重力加速度为g.求：

（1）小球受到的电场力的大小;

（2）小球在A点的速度v0多大时，小球经过B点时对轨道的压力最小.

带电粒子在等效重力场中的圆周运动模型体现力学规律在电学中的灵活应用，是高考复习的重点和难点内容.基于学生的认知规律，运用等效类比的物理思想逐步进阶、不断深入，既能体现物理思想方法的重要性，又能有效培养学生的思维能力.

参考文献：

[1] 刘玲.带电粒子在匀强电场中运动的最高点与最低点问题[J].中学物理，2014，32（15）：95.

[2] 阮长久.电场中的圆周运动[J].中学物理，2015，33（15）：44-45.

[责任编辑：李璟]