多视角切入 择方法妙解

摘要：本文從多个视角对2021年新高考Ⅰ卷第19题进行了剖析，旨在提升教师的专业水平，更好地落实数学核心素养.

关键词：新高考;解三角形;数学核心素养

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0065-04

收稿日期：2022-03-05

作者简介：杨伟达（1973.10-），男，广东省兴宁人，中学高级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

纵览2021年高考数学卷，细细品读，一道新高考Ⅰ卷第19题解三角形试题引起笔者的注意，冥思苦想的解答过程，感受着不一样的数学味道.

1 展示考题，绽放别样的解法

题目（2021年新高考Ⅰ卷19）如图1，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析主要考查三角形正、余弦定理的综合运用.第（1）问与传统设问不同，依托已知条件，要么从正弦定理入手，要么作辅助线入手，利用三角形相似即可;

第（2）问设问常规，方法较多，入口容易.要么列方程组，利用余弦定理，要么利用三角形相似找到边角关系等即可.1.1 第（1）问解析

解法1（边角互化公式）由正弦定理，得

b=2RsinB，c=2RsinC.

代入BDsin∠ABC=asinC，得BD·b=ac，且b2=ac ，所以BD=b.

解法2（面积公式）因为BDsin∠ABC=asinC，所以12b·BDsin∠ABC=12b·asinC.

因为S△ABC=12acsinB=12absinC，

所以b·BD=ac且b2=ac，所以BD=b.

解法3（三角形相似）如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，则BH=BDsin∠BDA=asinC.图2

因为BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠BDA=sin∠ABC.

经检验，若∠ABC，∠BDA为一个锐角一个钝角时，则AD<CD与AD=2DC矛盾;若同为钝角时，b最大，与b2=ac矛盾，舍去.

所以∠BDA=∠ABC（同为锐角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=BDCB.

即cb=BDa.

所以b·BD=ac且b2=ac，

所以BD=b.

解法4（正弦定理公式）如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，则BH=BDsin∠BDA=asinC.

因为BDsin∠ABC=asinC.

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

经检验，∠ABC，∠BDA为一个锐角一个钝角或同为钝角时，都与已知条件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同为锐角），∠ABD=∠C.

在△ABD中，BDsinA=ABsinB.

即BDa=cb.

所以b·BD=ac且b2=ac，

所以BD=b.

1.2 第（2）问解析

解法1（方程组（两个三角形共角的余弦定理）+余弦定理）由AD=2DC，得CD=13b，BD=b.

在△ABC中，cosC=a2+b2-c22ab，①

在△BCD中，cosC=a2+（13b）2-b22a（13b）

=9a2-8b26ab， ②

因为b2=ac，③

由①②③，得6a2-11ac+3c2=0.

解得a=32c或者a=13c（舍去）.

当a=32c时，代入③，得 b=62c.

所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=712.

解法2（列方程（向量+余弦定理）+余弦定理）

因为AD=2DC，BD=b，

所以BD=13BA+23BC.

所以BD2=19BA2+49BC2+49BA·BC.

即9b2=c2+4a2+4accos∠ABC④

在△ABC中，cosB=a2+c2-b22ac，⑤

因为b2=ac，⑥

由④⑤⑥，得6a2-11ac+3c2=0.

下面部分与解法1后面部分相同.

解法3（高+正弦定理+方程组）如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，若∠B为锐角，则CH=DH+CD.

即acosC=bcosD+b3.

若∠B为钝角，b为最大，与b2=ac矛盾，舍去.

因为BH=BDsin∠BDA=ainC，

又因为BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

经检验，若∠ABC，∠BDA为一个锐角一个钝角时，则AD<CD与b2=ac矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同为锐角），∠ABD=∠C.

在△ABD中，BDsinA=ADsinC.

即ba=2b3c.

得 c=23a， 则b2=ac=23a2.

又因为∠ABC=∠BDA，BDsin∠ABC=asinC，

所以acosC=bcosB+b3，asinC=bsinB.⑦⑧

⑦2+⑧2化簡，得 cosB=9a2-10b26b2=712.

解法4（作辅助线）如图2，过点B作BH⊥AC交于点H，则BH=BDsin∠BDA=asinC.

因为BDsin∠ABC=asinC，

所以sin∠ABC=sin∠BDA.

经检验，∠ABC，∠BDA为一个锐角一个钝角或同为钝角时，都与已知条件矛盾，舍去.

所以∠ABC=∠BDA（同为锐角），∠ABD=∠C.

下面部分有几种思路：

（1）正弦定理+余弦定理.

因为AD=2DC，所以CD=13b.

在△ABD中，ABsin∠BDA=ADsin∠ABD.

即csinB=23bsinC.

化简，得 c2=23b2，且b2=ac，

得 a=32c，b=62c.

所以cos∠ABC=a2+c2-b22ac=712.

（2）相似三角形+余弦定理.

所以∠ABC=∠BDA（锐角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=ADAB=BDCB.

即cb=23bc=ba.

得 a=32c，b=62c.

所以cos∠ABD=a2+c2-b22ac=712.

（3）相似三角形+方程组.

所以∠ABC=∠BDA（锐角），∠ABD=∠C.

所以△ABD∽△ACB.

所以ABAC=BDCB=ADAB.

即cb=23bc=ba.

得 a=32c，b=62c.

不妨设c=2x，a=3x，b=6x，

由三角形射影定理，得a=ccosB+bcosC，⑨

bsinB=asinC.⑩

由⑨⑩列方程3-2cosB=6cosC，6sinB=3sinC，

解得 cosB=712.

2 解后反思，紧扣数学核心素养

解三角形常常涉及到有关角度、长度、周长、面积等问题，主要运用正、余弦定理，试题入手容易、难度不大，但在解题中用到的公式、定理多、变化大，对计算能力、思维能力的要求比较高，学生稍有不慎，就容易出错.为改变这种“会而不对，对而不全”的局面，学生必须做到：（1）要树立做对的信心，对相关题目不能满足会做，更不能满足“似曾相识”;（2）对典型的例题、做过的高考题进行分析总结，找出规律，掌握方法;（3）关注细节，对解题过程中暴露的问题精准定位，弄清楚哪一个环节出问题，及时有效地解决.

新教材不再将《解三角形》作为一章，安排在人教版高中数学第二册第六章向量应用之后，成了一线教师对新教材新教学的热门话题，其作用和地位是否减弱？今年新高考第19题的出现正好回答了一线教师的疑云，一切水落石出、烟消云散.具体如下：（1）题号顺序靠后，以前是容易题，一般放在解答题的第17题，而这次安排在第19题;（2）题设条件全部用字母形式，设问的问法也不同.传统的题设条件一般有数值表示，第一问常常是求角的大小（常常30°，45°，60°中取舍）或长度.

新高考新在哪？命题专家们结合《深化新时代教育评价改革总体方案》考查学生关键能力，紧紧围绕数学核心素养做文章，走开放创新之路.目的是避免刷题、套路，改变相对固化的试题形式，减少死记硬背和“机械刷题”现象，让学生真正理解数学、体验和探索数学问题的过程.

3 变式题组， 拓展主体框架体系

当前有一种比较认可的有效课堂，那就是变更条件、编写变式题组，然后进行题组化训练. 其目的是让学生熟悉考试题型，在短时间内记住题型的解题方法，对提高学生数学素养很有帮助.

3.1 变更题设条件，结论不变

变式1（2021年高考Ⅰ卷19改编）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c分别成等比数列，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC

（1）证明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

变式2（2021年高考Ⅰ卷19改编）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且它们分别成等比数列，点D在边AC上，AC边上的高为

BDsin∠ABC.

（1）证明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

变式3（2021年高考Ⅰ卷19改编）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=λac（λ≠0为常数），点D在边AC上，∠ABC=∠BDA.

（1）证明：BD=bλ;

（2）若AD=2DC时， 求cos∠ABC.

3.2 变更题设条件、结论

变式4（2021年高考Ⅰ卷19改编）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AC上，且边AC上的高为bsin∠ABC.

（1）求证：b2=ac;

（2）若AD=λDC（λ为常数），BD=b，求cosC.

变式5（2021年高考Ⅰ卷19改编）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，c=2，点D在边AC上，且边AC上的高为bsin∠ABC.

（1）求AC的长度;

（2）若AD=2DC，求BD的长度.

4 链接高考，拓宽解题视野

链接高考，寻找似曾相识题，比对感悟，触类旁通，归纳出一类题，形成一个系统块，进而拓宽解题视野.

题1（2013年福建）如图3，在△ABC中，点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，则BD的长为.

题2（2016年广州理数一测17）在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，

AB=53，AD=5，CD=2BD.

（1）求BD的长;

（2）求△ABC的面积.

参考文献：

[1] 林国红.2021年新高考全国Ⅰ卷第19题的探究[J].理科考试研究，2021，28（17）：2-5.

[责任编辑：李璟]