一题八解 素养落地

摘要：一题多解是培养能力，体现素养的一种行之有效的方法，它对沟通各模块知识之间的联系，开拓解题思路，培养思维能力，激发学习兴趣都大有裨益.文章从一道高考模拟试题的解法入手，探究一题多解在教学中的应用.

关键词：一题多解;素养;探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0046-04

1 题目呈现

题目（2021年四川省高考适应性试题）已知△ABC的三内角A，B，C满足sinBsinC=cos2A2.

（1）判断△ABC的形状;

（2）若AC边上的中线BM长为3，求△ABC的面积的最大值.

题目为一道典型的解三角形问题，三角形中边角关系，三角恒等变换，三角形形状判断，三角形中线段长度，三角形面积在本题均充分考查，而且思维量较大，是一道非常典型的高考冲刺模拟试题，充分体现了试题的区分度和选拔功能.2 试题解析

2.1 第（1）问解析

解析由sinBsinC=cos2A2，

得sinBsinC=1+cosA2.

所以2sinBsinC=1-cos（B+C）.

所以2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC.

所以cosBcosC+sinBsinC=1.

所以cos（B-C）=1.

又B-C∈（-π，π），

所以B-C=0，即B=C.

所以△ABC是等腰三角形.

评注判断三角形形状可以从边的关系入手，也可以从角的关系着眼.本题已知关系式中全为角的关系，因此要充分利用三角恒等变换和相关三角公式，将多角度化为单角度或找到相关角度之间的关系.

2.2 第（2）问解析

第（2）问涉及三角形中线段长度并求面积最值，高考试题对高中数学知识点的考查较为全面细致，由于第（1）问只考查了边角关系和三角恒等变换，因此第（2）问肯定会考查正余弦定理的应用，解题时要清晰明了题目命制的意图和考查的知识点;三角形面积最值问题是考查基本不等式、函数最值、三角函数最值、导数应用及数形结合的一种重要体现，解题中一定要结合条件和求解结论去理解，迅速找到解决问题的方向.

解法1设AM=m，则AB=2m.

在△ABM中，由余弦定理，得

m2+4m2-2·m·2m·cosA=9.

解得cosA=5m2-94m2.

所以

sinA=-9m4+90m2-814m2

=3-（m4-10m2+9）4m2.

所以△ABC的面积

S=12·2m·2m·3-（m4-10m2+9）4m2

=3-（m2-5）2+162

≤3×42=6.

评注从三角形面积公式S=12absinC入手，将边和角均转化到同一变量m上，然后转化为函数最值问题，难点在于将边角关系利用余弦定理统一，然后利用同角三角关系表示出角度的正弦.

解法2将BM放在x轴，且B（0，0），M（3，0），因为AB=AC，AC=2AM，所以AB=2AM.

则知点A的轨迹是圆，于是设A（x，y），

得x2+y2=2（x-3）2+y2（y≠0）.

化简，得（x-4）2+y2=4（y≠0）.

所以如图1，点A运动到圆的最高点时，△ABM面积最大，最大值为12×3×2=3，从而△ABC的面积的最大值为6.

评注解析的方法是将几何思维（智力为主）轉化为代数统筹（运算为主）的数学能力.建立适当的平面直角坐标系，将图形思维转化为代数运算，是处理几何问题的一种常用方法.法2的关键点在于要充分运用阿波罗尼斯圆将动点转化到定圆上，从而将三角形的面积最值转化到相对圆直径的高最值，一目了然，一望而解.

解法3如图2，由题知AB=2AD，得点A的轨迹为圆（阿波罗尼斯圆定义）.

由阿波罗尼斯圆定义，得

ABAD=BEED=BFDF=2.

所以BD-EDED=BD+DFDF=2.

解得DE=1，DF=3.

所以圆半径为2.

所以S△ABC=2S△ABD=3h，h为BD边上的高.

所以S△ABCmax=6.

评注此法充分利用平面几何中有关阿波罗尼斯圆的定义巧妙将动点转化到定圆上，从而将面积表示为与圆上点到直线距离的关系，数形结合，巧妙转化.

解法4如图3，取BC中点E，连接AE，交BD于点G，易知G是△ABC重心.

因为BD=3，所以BG=2.

因为BE=2sinθ，BC=4sinθ，GE=2cosθ，

AE=6cosθ，

所以

S△ABC=12·BC·AE=12sinθcosθ=6sin2θ≤6.

所以S△ABCmax=6.

评注利用三角形重心（中线交点）分中线长为1∶2的长度关系将△ABC的底和高转化到已知长度和同一角度求解，从而将面积最值问题转化为三角最值问题.

解法5如解法4，点G是△ABC重心.则

S△ABC=3S△BGC

=3×12BG·GC·sin∠BGC

=3×12×2×2sin∠BGC

=6sin∠BGC≤6.

评注充分利用三角形重心分面积的关系将△ABC的面积转化到3S△ABC，而BG=GC=2，从而再次将几何最值问题转化为三角最值问题.

解法6如图4，过BC中点O建系，设A0，b，B-a，0，Ca，0，可得Da2，b2.

由BD=3=32a2+b22，

得9a24+b24=9.即a24+b236=1.

令a=2sinθ，b=6sinθ，

得S△ABC=12·BC·AE=ab=12sinθcosθ=6sin2θ≤6.

所以S△ABCmax=6.

评注通过建立适当的坐标系，将三角形底和高的长度关系利用题目中条件建立关系，再利用三角代换将面积问题转化为三角问题.

解法7由解法6得到

a24+b236=1.

由基本不等式可得

1=a24+b236≥2·a2·b6=ab6.

即S△ABC=12·BC·AE=ab≤6（当且仅当a2=b6=22时取等）.

评注高中数学的最值问题解决方法无非是用不等式或导函数处理，已知相关量的等量关系，所以首先想到用基本不等式解决最值，但运用基本不等式时一定要注意十七字方针“一正，二定，三相等，和定积最大，积定和最小”.

解法8如图1，设AD=x，则AB=2x，

由海伦公式

S△=2pp-ap-bp-c，

p=a+b+c2

可得

S△ABC=2S△ABD

=23x+32·3x-32·x+32·3-x2

=9x2-99-x24.

由三角形三边关系可得2x+x>3，2x-x<3，

得1<x<3.

则当x2=5（符合条件）时，取最大值S△ABCmax=6.

评注此法实际和解法1一致（解法1就是海伦公式推导），海伦公式是平面几何中求解三角形面积的一个重要公式，利用题目已知条件和海伦公式将面积全部转化到边长，从而将面积最值转化为函数最值.

此题的向量版变式已知共面向量a，b，c满足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向量b，记|b-ta|（t∈R）的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为.

解法1同上题，实际求此阿波罗尼斯圆的半径即可.

解法2固定向量a=（3，0），则b，c向量分别在以（3，0）为圆心，r为半径的圆上的直徑两端运动，其中，OA=a，Ob=b，Oc=c，如图5，易得点B的坐标B（rcosθ+3，rsinθ）.

因为|b|=|b-c|，

所以OB=BC.

即（rcosθ+3）2+r2sin2θ=4r2.

整理为r2-2rcosθ-3=0.

可得cosθ=r2-32r.

而|b-ta|（t∈R）的最小值为dmin，

即dmin=rsinθ=-r4+10r2-94=4-（r2-5）25≤2.

所以dmin的最大值是2.

小结解三角形问题一直是高考的热点问题，正确理解三解恒等变换和三角形面积公式是处理问题的关键;同时要将三角、函数、解析几何、不等式等相关知识加以迁移渗透，综合运用，注重数形结合、化归与转化等数学思想;在解题归纳上注重模型意识，合理转化，妙设巧算，才能将核心素养在解题中得到真正的体现和展示.

参考文献：

[1] 李小蛟.以题研课——用好一题一课，提升复习质量＼[J＼].中学数学杂志，2020（11）：46-49.

[2] 沈岳夫.思关联巧转化 多视角探解法＼[J＼].中学数学教学，2021（03）：47-49.

[责任编辑：李璟]