巧用平面几何性质 妙解圆锥曲线问题

摘要：文章通过例题展示一个平面几何性质在圆锥曲线中的应用，以此说明在解析几何中解析法与平面几何性质结合的重要性.

关键词：平几性质;解析几何;圆锥曲线;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0014-04

解析几何是用代数方法研究几何问题，解析法偏重于相关量的数量关系研究，由于代数运算复杂，对运算能力要求较高，往往使很多学生对解析几何题望而生畏.事实上，解析几何问题的本质仍是几何问题，若能充分把握解析几何中图形的特征，挖掘图形相应的几何性质，恰当地运用平面几何的相关知识进行求解，往往能简化运算，优化解题过程，能起到四两拨千斤的功效.

本文以几道考题为例，展示一个平面几何性质在圆锥曲线问题中的巧妙应用.

1 示例呈现与解析

题目已知抛物线C：y2=4x的焦点是F，准线是l.

（1）写出点F的坐标和l的方程;

（2）如图1，已知点P（9，6），若过点F的直线交抛物线C于不同两点A，B（均与点P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N，求证：MF⊥NF.

解析（1）由题意得点F的坐标（1，0），l的方程为x=-1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1≠±6，

y2≠±6），AB直线方程为x=ty+1，

联立x=ty+1，y2=4x，得

y2-4ty-4=0.

于是y1+y2=4t，y1y2=-4.

由P（9，6），得kPA=4y1+6.

所以直线PA的方程为y-6=4y1+6（x-9）.

令x=-1，得M（-1，6y1-4y1+6）.

同理可得N（-1，6y2-4y2+6）.

所以kFM×kFN=yF-yMxF-xM×yF-yNxF-xN

=9y1y2-6（y1+y2）+4（y1+6）（y2+6）.

将y1+y2=4t，y1y2=-4代入，得

kFM×kFN=-1.

故MF⊥NF.

2 一个优美平几性质

从上述证明可以看出，示例的问题（2）用解析法证得结论，但运算量稍大，那么有没有更为简单的方法来解决呢？经探索，找到了一个极为简洁的证法.

先给出一个优美的平面几何性质作为引理：

引理若圆锥曲线C的离心率为e，焦点F所对应的准线为l，曲线C的弦AB所在的直线交准线l于点P.当点P在弦AB内时，FP平分∠AFB;当点P在弦AB外时，FP平分∠AFB的外角.

证明如图2，设点A，B在准线l上的射影分别为点A′，B′，连接AA′，BB′，则

AA′⊥l，BB′⊥l.

于是可得AA′∥BB′.

由圆锥曲线的统一定义，有

AFAA′=BFBB′=e.

即AFBF=AA′BB′.

由AA′∥BB′，易得△APA′∽△BPB′.

故有AA′BB′=APBP.

從而有AFBF=APBP.

由三角形的内（外）角平分线定理的逆定理，可得FP平分∠AFB（或FP平分∠AFB的外角，取决于点P在弦AB内还是外）.

故引理得证.

示例问题（2）的证法2如图3，连接PF，并延长交l于点G.

由引理，可得FM平分∠AFG，FN平分∠BFG，且有∠AFG+∠BFG=180°.

故可得2（∠MFG+∠NFG）=180°.

即得∠MFG+∠NFG=90°.

所以∠MFN=90°.

于是有MF⊥NF.

证法2从平面几何的角度思考，借助引理，简化了推理和运算过程，具有直观、简捷、明快的特点，方法新颖独到.

证法2所用的引理在解析几何中有着广泛的应用，下面举例说明.3 性质在解析几何中的应用

例1（2021年1月全国统一适应性考试（八省联考）第21题）双曲线C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|=|BF|.若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF.

解析由题可知双曲线C的方程为

x2a2-y23a2=1.

则双曲线C的右准线为

l：x=a2.

如图4，设双曲线C的右准线l与弦AB交于点P.

由引理，PF平分∠AFB，可得

∠BFA=2∠PFA.

注意到A（-a，0），F（2a，0），从而双曲线C的右准线l：x=a2恰好是AF的垂直平分线，故可得∠PFA=∠PAF.

即得∠PFA=∠BAF.

所以∠BFA=2∠BAF.

例2（2021年3月“燕博园考试”第21题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右顶点为B，直线m：x-y-1=0过椭圆的右焦点F，点B到直线m的距离为22.

（1）求椭圆C的方程;

（2）椭圆C的左顶点为A，M是椭圆位于x轴上方部分的一个动点，以点F为圆心，过点M的圆与x轴的右交点为T，过点B作x轴的垂线l交直线AM于点N，过点F作直线FE⊥MT，交直线l于点E.求的|BE||EN|值.

解析（1）由题知，椭圆C的方程为x24+y23=1，过程略.

（2）因为FE⊥MT，由垂径定理，易得FE是∠MFT的平分线.

设椭圆C的弦AM交椭圆C的右准线d：x=4于点P，右准线d：x=4与x轴交于点Q，如图5.

由引理，可知FP平分∠MFA的外角，

即FP平分∠MFT.

所以点P在直线FE上.

由NB⊥x轴，PQ⊥x轴，可得

△EFB∽△PFQ.

从而EBPQ=FBFQ=2-14-1=13.

即EB=13PQ.

可得△NAB～△PAQ.

从而NBPQ=ABAQ=46=23.

即NB=23PQ.

故有NB=2EB.

于是E是NB的中点，即BEEN=1.

所以|BE||EN|值为1.

例3如图6，设抛物线E与椭圆Γ有共同的焦点F，且f为焦点F所对应的共同准线，过椭圆Γ上一点M作椭圆的切线，且切线交抛物线E于A，B两点，则FM平分∠AFB.

证明如图7，在抛物线E中，由引理，可知FK平分FA与FB夹角的外角.

即FK平分∠BFG.

所以有∠BFK=∠KFG.

在椭圆Γ中，由引理，可知FK平分FC与FD夹角的外角，即FK平分∠DFH.

所以有∠DFK=∠KFH.

而∠BFD=∠DFK-∠BFK，

∠GFH=∠KFH-∠KFG，

故有∠BFD=∠GFH.

又因为∠GFH=∠AFC，

所以∠AFC=∠BFD.

于是当点C，D重合变成切点M时（如图6），即有∠AFM=∠BFM.

所以FM平分∠AFB.

4 小结反思

从上面例子可以看出，解答解析几何问题时善用平面几何知识，常常可以避开繁难的代数运算，简化解题过程，很好地揭示这些问题的几何本质，别样精彩.其中挖掘试题背后的有關几何性质是关键，这需要熟练掌握一些常见平面几何图形的性质，并将其与解析几何的特征量相结合，寻找问题解决的切入点与突破口.因此对于解析几何问题，要紧扣其中关键的几何要素，用平面几何知识去化解解析几何问题的难度，将解析法与平面几何法相结合，做到相辅相成、相得益彰，从而得到解决问题的最优解法，这不仅是解决解析几何问题的法宝，也是减少解析几何运算量的有效途径，还有助于打破学生学习过程中容易形成的思维定势，培养学生的发散思维，更好地提高解题能力.

5 练习巩固

最后提供一题作为练习，以加深体会该性质在圆锥曲线中的应用.

练习（2021年4月山东省高三第二次模拟考试第22题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点F（1，0）的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ⊥x轴时，OP∥AD（O为坐标原点）.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则∠MFN是否为定值？若是，求出该定值;若不是，请说明理由.

答案（1）x22+y2=1;

（2）∠MFN为定值，且定值为π2.

参考文献：

[1] 林国红.同心圆锥曲线中两个命题的证明[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（11）：33-35.

[2] 林国红.探究让考题更精彩——一道学考题的探究与思考[J].中学教研（数学），2019（04）：24-26.

[责任编辑：李璟]