高中数学解题中不等式的应用

摘要：不等式是高中数学的重要知识点，在解题中有着广泛的应用.为提高学生的应用能力，教学中应做好不等式基础知识讲解，使学生真正地理解，牢固地掌握不等式的相关性质、结论等.同时，注重结合具体的习题为学生展示不等式在解题中的应用，给其带来良好的解题启发.

关键词：高中数学;解题;不等式;应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0053-04

收稿日期：2022-03-05

作者简介：徐天保（1985.6-），男，安徽省怀宁人，硕士，中学二级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

应用不等式可解答高中数学中的求最值、比较大小、求取值范围、证明结论等问题.常用的思路有：运用基本不等式、运用函数单调性、运用放缩法等.授课中除为学生讲解相关理论，提高其应用不等式解题的意识，还应做好相关的应用示范，使其积累相关的应用经验.

1 用于求最值

高中数学习题中的求最值无外乎求最大值、最小值，尤其遇到求单个参数的最值时通常分离参数，而后结合已知条件拼凑出基本不等式的形式，运用基本不等式求解.运用基本不等式求最值应确保其满足“一正二定三相等”，尤其不能生搬硬套，否则可能得出错误结果.

例1已知x，y为正实数且满足关系式x+y+3=xy，对任意的x，y均有（x+y）2-a（x+y）+6≥0恒成立，则实数a的最大值为.

该题不满足运用基本不等式的条件，此时需要运用函数性质进行突破.

解析因为正实数x，y满足关系式

x+y+3=xy，xy≤（x+y2）2，

所以x+y+3≤（x+y2）2.

即（x+y）2-4（x+y）-12≥0.

解得x+y≥6或x+y≤-2（舍去）.

又因為（x+y）2-a（x+y）+6≥0恒成立，

所以a≤x+y+6x+y恒成立.

问题转化为求x+y+6x+y的最小值.

令t=x+y（t≥6），则f（t）=t+6t.

由对勾函数性质可知，其在[6，+∞）上单调递增，则f（t）min=7.

因此，a的最大值为7.

2 用于比较大小

运用不等式比较大小主要有两种思路：思路1，借助所学函数的单调性直接进行比较.思路2，构造出新的函数，运用导数研究其在对应区间的单调性，而后比较大小.其中思路2难度较大，教学中应注重为学生展示经典的例题，使其掌握相关的解题技巧.

例2设a=3π，b=π3，c=33，则a，b，c的大小关系为（）.

A.b>a>cB.c>a>b

C.a>b>cD.b>c>a

观察可知a和c，b和c可直接运用指数函数、幂函数性质进行比较.而比较a，b的大小，则需要构造函数，运用导数知识分析.

解析因为幂函数y=x3在（0，+∞）上单调递增，而π>3，所以b>c.

又因为y=3x在R上单调递增，π>3，

所以a>c.

因为a=3π，b=π3，等式两边均取对数得到lna=πln3，lnb=3lnπ.

令f（x）=lnxx，则f ′（x）=1-lnxx2.

则当x>e时，f ′（x）<0，则f（x）单调递减.

即f（3）>f（π）.

即ln33>lnππ.

即πln3>3lnπ，lna>lnb.

即a>b，所以a>b>c，故选C.

3 用于求取值范围

求解参数取值范围是高中数学中的重要题型.相关的习题情境复杂多变，解题思路灵活多样，其中从不等式视角切入有时会取得意想不到的效果，因此，高中数学授课中应做好该类题型的归类，与学生一起总结相关的解题思路.

例3已知x>0，y>0，x+12y+xy=4，则xy+1x2y2+2xy+17的取值范围为.

该题具有一定的技巧性，需要运用不等式知识构建新的不等关系，而后结合函数性质求出其最值.

解析因为x>0，y>0，x+12y+xy=4，

故x+12y+xy≥212xy+xy=2·xy+xy.

即（xy）2+2·xy-4≤0.

解得0

即1

故xy+1x2y2+2xy+17=1xy+1+16xy+1.

令t=xy+1，则f（t）=t+16t.

由对勾函数性质可知其在（1，3]上单调递减，则f（t）∈[253，17）.

则原式的取值范围为（117，325].

4 用于证明结论

高中数学证明类的习题一般具有较大的难度，对学生的综合能力要求较高.其中证明不等关系时需要结合所学的不等式知识进行针对性的放缩.

例4在数列{an}中满足a1=3，an+1=2an+2.设bn=nan+2，其前n项和为Sn，证明：对任意的n∈N*，15≤Sn<45.

该习题以数列为背景考查了构造法、错位相减法、放缩法等知识，难度较大，尤其放缩时应结合证明的结论，把握放缩的度.

解析因为an+1=2an+2，

所以an+1+2=2（an+2）.

而a1+2=5，所以{an+2}是以5为首项，以2为公比的等比数列.

an+2=5·2n-1，bn=n5×2n-1.

Sn=15（120+221+322+…+n2n-1），①

12Sn=15（12+222+323+…+n2n），②

①-②，得Sn=25（120+12+122+…+12n-1-n2n）

=25（1-12n1-12-n2n）

=45-15×n+22n-1<45.

又Sn+1-Sn=25（n+22n-n+32n+1）=25×n+12n+1>0，

则{Sn}单调递增.

即Sn≥S1=15.

综上对任意的n∈N*，15≤Sn<45.

5 用于解答新情境问题

新情境问题在高中数学测试以及高考中多有出现，能很好地考查学生迁移所学知识解决问题的能力.解答该类问题的关键在于对要求解的问题進行转化，化陌生为熟悉，尤其能够根据题干描述构建新的不等关系，运用不等式以及函数性质进行突破.

例5若两个函数y=f（x）和y=g（x）对任意的x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|>2，则称函数在[a，b]上是疏远的.

（1）已知命题“函数f（x）=x2+2x-1和g（x）=x-2在[0，1]上是疏远的”，试判断该命题真假，若为真命题请予以证明，若为假命题请举出反例;

（2）若函数f（x）=x2+2x-1和g（x）=x-2在[a，a+1]上是疏远的，求实数a的取值范围;

（3）已知常数c>1，若函数F（x）=12（cx-c-x）与G（x）=cx在[1，2]上是疏远的，求实数c的取值范围;

该习题创设的情境较为新颖，解题的关键在于吃透题意，并根据给出的新定义将问题转化为在特定区间求不等式的问题.

解析对于问题（1）根据给出的新定义，可知要想满足题意，则|f（x）-g（x）|>2在[0，1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0，1]上恒成立.

因为y=x2+x+1=（x+12）2+34在[0，1]单调递增，ymin≥1，所以|x2+x+1|=x2+x+1≥1，其并不恒大于2.

因此，是假命题.例如当x=0时，|x2+x+1|=1<2.

问题（2）将问题转化为|x2+x+1|>2在[a，a+1]上恒成立，因为y=x2+x+1，Δ<0，所以问题转化为x2+x-1>0在[a，a+1]上恒成立.

令y=0，解得其两根分别为x1=-1-52，x2=-1+52，要想满足题意应有a+1<-1-52或a>-1+52，解得a<-3-52或a>-1+52.

问题（3）问题转化为|F（x）-G（x）|>2在[1，2]上恒成立，整理得到

|-12（cx+c-x）|=|12（cx+c-x）|>2.

因为cx>0，c-x>0，所以12（cx+c-x）>2.

即cx+c-x>4.

令H（x）=cx+c-x，取1≤x11，所以cx1-cx2<0，cx1·cx2>1.

所以1-1cx1·cx2<0，H（x1）-H（x2）<0，函数H（x）在[1，2]上单调递增，所以H（x）>H（1）=c+1c>4，解得c>2+3或c<2-3.

所以c的取值范围为（2+3，+∞）.6 用于解决实际问题不等式在解决实际问题中有着广泛的应用.运用不等式解答实际问题时应注重充分吃透题意，通过认真审题把握相关参数之间的逻辑关系，构建对应的不等关系.

例6某企业研发部原有100人，年人均投入a（a>0）万元，现将研发部人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（45≤x≤75），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为a（m-2x25）万元.

（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，调整后的技术人员最多有多少人？

（2）是否存在实数m，同时满足：技术人员的年人均投入始终不减少;调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在求出m的值，若不存在，说明理由.

该题来源于生活.要想正确作答需要认真审题，从题干中抽象出相关参数的不等关系，运用不等式性质进行求解.

解析（1）根据题意可知，调整后研发人员有（100-x）人，年人均投入[1+（4x）%）]a.

由题意可知（100-x）[1+（4x）%）]a≥100a，解得0≤x≤75.

又因为45≤x≤75，所以调整后的技术人员最多有75人.

（2）因技术人员人均投入不减少，则有a（m-2x25）≥a，解得m≥2x25+1.

同时，研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入，则由（100-x）[1+（4x）%）]a≥ax（m-2x25），解得m≤100x+x25+3.

综上可得2x25+1≤m≤100x+x25+3.

因为100x+x25+3≥2100x·x25+3=7，当且仅当x=50时取等号，所以m≤7.

又因为45≤x≤75，x∈N+，当x=75时，2x25+1取得最大值7，所以m≥7.

综上可得存在这样的m满足题意，此时m=7.

高中数学教学中为使学生认识到不等式的重要作用，掌握运用不等式解答相关习题的思路与技巧，应注重与学生一起推导不等式的相关性质与结论.同时，优选经典习题，在课堂上为学生展示具体的解题过程，并鼓励学生做好听课的总结，更好地加深印象，牢固地掌握所学.

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[责任编辑：李璟]