巧用多元表征，优化初三数学复习课教学

[摘要]复习课是初中数学教学的重要课型之一，如何优化初三数学复习课教学是一线教师的不懈追求.据长期的课堂观察，教师容易误入高密度、低思维的刷题圈套，种种低效现象难以保证复习效果.文章以“开放问题，多元表征;基于表征，优化知识结构;例题变式，揭示本质;领悟题魂，感悟升华”的课堂教学模式，阐述了用多元表征优化初三数学复习课教学模式的建构.

[关键词]初三数学;多元表征;复习课

问题提出

《义务教育数学课程标准》提出数学教育既要使学生掌握必需的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可代替的作用[1].中考命题以数学能力立意，考查基本知识、基本技能、基本思想、基本经验，既关注学生思维水平，也关注思维特征，同时还关注学生分析问题和解决问题的能力.笔者秉持“数学教育要以理性思维育人”的教育思想，崇尚“数学教学要为思维而教”的教学观[2].反观初三数学复习教学实际，教师的初衷是以回顾知识、例题讲解、巩固练习的方式开展复习，但多数时候却误入高密度、低思维的刷题圈套，复习效果堪忧.

1.就题讲题，思维过程被忽视

先讲后练、先练再讲是初三复习课的主旋律.一些教师在上复习课的时候要么从第一题按部就班地讲到最后一题，把复习题仅仅当作一道题，长期往复，严重制约着初三数学复习质量的提升;要么一练到底，课的尾声对答案，热衷于以大量的练习来代替复习课，没有考虑学生的认知水平，没有考虑不同层次学生的需求，严重限制学生学习数学的积极性.一个看似简单、常见模型的问题，或者数量关系并不复杂的问题，虽然教师反复讲解，可学生还是似懂非懂，或者囫冏吞枣的接受，这也是题海战术盛行的原因.这些课堂忽略了复习课的目的除了回顾知识形成的结构，更重要的是借助解题发展学生的数学能力，而这种就题论题、轻思维重结果的教学难以有复习效果.

2.缺少提炼，思维品质欠提高

思维品质表现为思维者善于深入地思考问题，能抓住问题的本质，同时也表现为思维者能依据条件的变化及时灵活调整思维方向，善于发现新的条件和因素[3].高效课堂一般是先巩固梳理已学知识、技能，在此基础上“补缺提高”，构建知识网络图式，基于构建问题链的教学策略发展学生的思维能力.虽然解题训练是提升学生数学能力的必要手段，但是不少教师视题海战为法宝，欠缺培养学生举一反三、触类旁通的能力，缺少方法提炼和归类，忽略思维的灵活性和创造性，实在难以提高学生的数学思维品质.其实完全可以借助多元表征理解题意，通过一题多解、多题一解、一题多变等形式，在反思和总结中提炼解题策略，发展思维能力.

针对以上初三数学复习课低效的现象，笔者认为以“问题表征、多元表征、模式识别、解题迁移、形成抽象表征”的循环教学优化能力结构是非常必要的，以此发展学生能力，培养其数学思维.

教学建构

（一）借助多元表征构知识网络，启动思维

数学问题都是围绕某些概念构成的，因此要理解数学问题，就要对问题涉及的核心概念做出合理的表征，教学的关键是唤醒学生头脑中的意象，并对数学问题多元表征.这种表征是用某個对象符号代替不显状态的对象，用不同的语言揭示同一学习对象的多元属性，促进学生对知识的深度理解.

在基础知识的回顾时，教师往往仅罗列知识.这种做法，只是知识的再现，学生的知识结构并没有得到优化.初三复习课要有效益，需要教师帮助学生回忆先前的知识和方法，只有在厘清基本概念和规则的基础上，学生才能对数学知识进行深度学习.所以，在初三数学复习教学中的基础知识回顾阶段，教师需要贯彻落实深度学习理念，利用概念图进行教学，将概念和规则看成一个整体视觉化表征，再现知识结构、外化规则和概念，促使学生理解材料的意义.基于视觉化学生能从多个感官通道深化数学概念及规则等的认知，以此完善学生的CPFS的认知结构.喻平教授提出一个数学概念C的所有等价定义的图式，概念域、概念系、命题域、命题系（记为CPFS结构）是对数学认知结构的精确描述，它反映了命题系数学学习特有的心理现象和规律[3].把握数学知识内在的发展机理，通过教学设计使学生将数学知识在头脑中合理建构，进一步形成合理的知识结构网络，本环节控制在10分钟以内.通常选用两种模式进行.

模式1：知识陈述型.选用填空的形式，帮学生搭好知识回顾的脚手架.

模式2：问题解决型.设置若干练习，通过以题点知，达到复习和巩固的目的.

例1（1）画出相似三角形的基本图形;（2）如图1所示，在△ABC中，DE∥BC，你可以得到哪些线段和角的关系？（3）如图2所示，要使△ABC∽△AED，可以添加哪些条件？

问题（1）画出基本图形的过程就是将文字转化为图形表征，该表征包含三个基本事实：“A型”图、“X型”图、射影定理概括图，反映相似三角形问题的先行组织行为;问题（2）在于重现知识，能达到概念图重构，将图形表征转为数学语言的文字表征，其知识点包括判定三角形相似的条件以及预备定理;问题（3）以开放题的形式呈现，激发学生兴趣，同时也降低问题起点，提高学生的参与面，添加条件的过程就是检验图形表征准确性的过程.通过这三个问题的学习，学生图式表征、叙述表征、文字表征相互作用，使相似概念的发生有了支撑性心理技术，这样的复习带来的效益是“炒剩饭”所不能企及的.

（二）借助多元表征促进解题认知，引起思维碰撞

初三数学复习课程教学中，讲与练是主旋律，占据课堂的大部分时间.若采用启发式教学、变式教学（一题多变、一题多解、一法多用）等，对发展学生的思维是有效的.数学问题中的多元表征普遍存在[4].先以问题（变式）的提出，它指向对应的概念或规则，引导学生对问题表征，经历问题的字面理解和问题的深层理解，借助多元表征，把问题的有关信息形式化，言语化表征问题的特征和数量关系，能将问题归类并与大脑中的某种数学模式相匹配，通过问题变式探究，促进解题迁移，培养思维品质，借助问题的等价变换，弄清问题的实质和模式的内涵，达到抽象表征的目的，优化学生的能力结构.所以，在复习课上应是“以问题为出发点，经过多元表征，模式识别，解题迁移，形成抽象表征”这样的循环过程，优化复习课的教学.

例2已知函数y=（k-2）x²-2x+k+1的图像与x轴只有一个交点，求实数k的值.

1.问题变式：为了促进学生结合概念（规则）思考问题，对问题的结构、条件或结论变式，形成能促进学生多元表征的材料.

设计如下问题：

（1）对于函数y=（k-2）x²-2x+k+1，它是我们学过的哪种函数？

（2）何种函数在什么情况下与x轴只有一个交点.

（3）画出图像表达你的思考.

2.多元表征：通过问题变式，借助图式理解题意，促进学生把问题的陈述转换为解题的心理表征.分清已知、未知及元素之间的数量关系和空间形式，用必要的手段分析问题结构和意图，用自己的话重新表述问题，为模式识别奠定基础.

（1）启发学生用草图并结合语言化表征诠释函数图像与x轴只有一个交点.

（2）明确数量关系和空间形式，借助图像和数学语言表征问题.

3.模式识别：借助多元表征对问题的深层理解，将问题与自己认知结构中的某种解题模式匹配.

根据图式表征和数学语言表征，问题的不变的特征是函数图像与x轴只有一个交点.从数的角度，就是方程0=（k-2）x²-2x+k+1只有1个实数解.从图的角度，若是一次函数，则图像必然与x轴只有一个交点;若是二次函数，则图像顶点的纵坐标为0.由此让学生体会涉及参数问题的分类讨论思想.

4.解题迁移：在模式识别的基础上，学生合作或独立解决问题.要培养学生的思维品质，还需要变式教学（一题多变、一题多解、一法多用）.

变式1：已知函数y=（k-2）x²-2x+k+1的图像与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，求实数k的值.

变式2：已知函数y=（k-2）x²-2x+k+1的图像开口向下，与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，求实数k的值.

变式3：已知函数y=（k-2）x²-2x+k+1的图像与x轴有两个交点，且都在x轴的正半轴上，求实数k的取值范围.

变式4：已知函数y=（k-2）x²-2x+k+1的图像与x轴有两个交点，其中一个交点的横坐标在-2和-3之间，求实数k的取值范围.

5.抽象表征：在解题迁移的基础上进行抽象表征，实质上是对问题进行等价转换，在问题探究中，发散思维得到发展.

要求学生对问题进行改编：

（1）如果实数k的值无解，怎样改编？

（2）如果实数k的值只有1个解，怎样改编？

（3）如果3

（4）如果1

以实数k值的不同情况进行问题改编，进行问题的等价变换，问题在发散和聚合中，学生的创新性思维得到培养.

思维伴随着问题解决而发展，在概念或规则的运用过程中，借助多元表征将问题模式识别和解题迁移，形成数学问题的抽象表征，尽量一题多变、一题多解、一法多用.培养解决问题的能力，要以问题为基点，经过多元表征、模式识别、解题迁移、抽象表征这样的认知循环开展教学.基于问题链，以题点知，借助多元表征理解问题，促进问题的深度理解，形成问题解决的通法.在合作交流中，学生的思维品质将得到培养.

（三）借助多元表征促进知识生长，提升思维品质

此环节主要是对知识点或整节课的小结，是促进CPFS结构、提升数学能力、发展数学思维的重要环节.课堂反思通常是教师与学生共同对概念、规则、策略的总结，是帮助学生感悟数学思想、提高思维品质的绝佳机会.学生在合作交流中完成知识的建构和问题的解决，特别是基于多元表征多通道参与学习，深度理解问题和掌握知识，在问题探究的发散和收敛中，培养学生的思维能力.总结时，还课于学生，要求学生将本课题涉及的知识技能以及操作练习过程中的策略性知识讲解给同学或老师听.學生通过对有效的方法讲解和解题策略的寻求与反思，形成有效的问题解决策略体系，促进良好的CPFS结构的形成，促进学生的思维能力的发展[3].

教学实例

隐圆问题在各地中考中屡见不鲜，它们往往成为学生获取高分的拦路虎.这类问题具有抽象性和复杂性，单一的表征仅能关注到问题的一面，无法准确地理解问题的本质.

1.开放问题，多元表征

教师在讲授“隐圆”课程时，首先做好题目的选择，让学生在以题点知的过程中找到对应知识的课题模型，为后期的教学提供良好的理论依据.关键是让学生寻找“隐圆”模型解题策略.

问题1：如图4所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，P为AD上任意一点，连接BP，点A关于BP的对称点A′，连接DA′，求线段DA′的最小值.

引导学生阅读题目和图形，能从图形中直观感知BP垂直平分线段AA′，并且能积极转化语言表征和图形表征，对BA=BA′有直观上的认识，能想象出动点P在运动过程中BA′的长度始终保持不变的动态图形表征;引导学生将图形动态表征中的不变性（点A′到点B的距离不变）转化为语言叙述：点A′的运动轨迹是以点B为圆心、BA为半径的圆;用图形表征引导学生求线段DA′的最小值.

设计意图数学本身的特征决定了数学的表现形式是丰富多样的，表征能力的高低对解决问题的影响是非常大的.在课堂教学中尽可能引导学生对同一对象有多元表征，架起数与形的桥梁，串联好各知识之间的联系.

2.基于表征，优化知识结构

问题2：结合问题1对点A′的运动轨迹的表征，归纳出圆的隐圆模型？

引导学生归纳出如图5所示的模型.

本环节除了对上述学习的总结，让学生发现自己的知识盲区，更是强化学生点在某圆上运动这一几何形态的不同图形表征，丰富学生的认知结构.

问题3：用自己的话叙述上述隐圆模型，并说出它们是怎样形成的？

问题4：请说明四个隐圆模型的理论依据以及它们之间的联系？

设计意图通过让学生自主探究和教师的引导，让学生知道四个隐圆模型的理论依据，知道知识从哪里来怎么用，结合图形表征和文字表征实现对隐圆知识的深度理解.

3.例题变式，揭示本质

例3如图6所示，正方形ABCD的边长为2，动点E，F分别在DC，BC上移动，且保持DE=CF，AE和DF交于点P，求线段CP长度的最小值.

变式1：如图7所示，等边三角形ABC的边长为2，D，E分别在AB，AC上两动点，且保持AE=BD，CD和BE交于点P，求点尸运动路线的长度.

变式2：如图8所示，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M是边AD的中点，N是边AB上的一动点，△AMN与△A′MN关于直线MN成轴对称图形，连接A′C，求A′C长度的最小值.

变式3：如图9所示，等边三角形ABC的边长为2，ED⊥AB，垂足为D，EF⊥AC，垂足为F，求AF的长.

设计意图例题是以90°的圆周角所对的弦为直径的隐圆模型，解题的关键是在动态图中找到90°角恒成立.难点要引导学生找到隐圆，根据动点的起始、终了位置就能找到运动路径，线段的最值就转化为圆外一点到圆上点的最长距离和最短距离了.让学生体会“寻模型—现隐圆—明路径—解最值”的解题策略，为变式训练提供解题经验.变式1中弦所对的圆周角由90°变成了120°，难点是找到隐圆的圆心.变式2是“多点共圆”模型，学生要在变中找不变的量，明确基本图形进而构建解题模型.变式3是“四点共圆”模型，由双垂直直观感知到隐圆.经过此种计算流程，学生能够巩固这类题的解题策略，将问题多元表征，进一步提升学生解决基于线段与角之间的关系所隐藏的圆的问题能力.

4.领悟题魂，感悟升华

思考：怎样在问题中发现“隐圆”？怎样将问题等价转化？

设计意图旨在让学生形成自己的解题经验，本节课不在于让学生知道隐圆有哪些情况，重要的是要领悟数与形之间的对应，善于将动态图形合理表征.

实践反思

1.基于多元表征，驱动思维发展

若初三复习课按照知识分类选择相应题目进行套题训练，不利于学生理解问题本质，也难以揭示数学知识或思想的本质.基于学生的认识把问题对应的核心知识进行不同的表征，通过联想拓展和例题变式，让学生从数学结论和方法上获得从特殊到一般的推广，让学生经历科学研究的一般方法.“问题表征、多元表征、模式识别、解题迁移、形成抽象表征”的问题解决教学结构，注重学生的思维变化.基于多元表征的变式教学，鼓励学生大胆猜想，在解题迁移中形成问题的抽象表征，形成内在模式结构，促进学生认知CPFS结构，促进学生解决心智图式问题的形成.

2.基于变式教学，推动例题教学

在复习课中，例题的选择及如何进行例题教学，是复习课的重要组成部分.笔者建议选择人口大，门槛低的题目作为例题，打消学生对数学的畏惧.

“问题表征、多元表征、模式识别、解题迁移、形成抽象表征”的问题解决教学结构，很多复习课都可以套用.变式教学可以揭示数学问题的本质，通过变更数学对象呈现形式，可以淡化问题的非本质属性，直视问题的本质.问题变式以学生已有的知识为背景，引导学生用多种方式表征学习对象，通过变式训练达到解题迁移，发展数学思维，提升解决问题的能力.开展自主变式，对学习对象抽象表征，培养了学生的发散思维和聚合思维，有利于学生的创新思维发展.

3.基于探究活动，致力素养养成

杜威认为，思维的自然规律不是形式逻辑，而是实验逻辑的反省思维.它是对问题反复地持续地进行探究的过程.课堂探究的生长点往往是核心知识的不同表征，在不同的表征形式探究中，以直观想象和思维辩证的策略方法，让学生理解问题的本质和掌握数学思想方法.“问题表征、多元表征、模式识别、解题迁移、形成抽象表征”的问题解决教学结构，经过实践研究，优化了初三数学复习课，但需要结合教学目标、教学内容、学生实际等方面，灵活增减教学结构，真正实现高效的数学复习教学.

参考文献：

[1]中华人民共和國教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李卫华.基于数学学科核心素养的教学设计——以“全等三角形的判定”为例[J].中学数学，2019（24）：19-21.

[3]喻平.数学学习心理的CPFS结构理论与实践[M].广西教育出版社，2008.

[4]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京师范大学出版社，2009.