指向数学实验下的深度探究

赵军

[摘要]数学实验是通过学习者的动手实践，在“做”数学的过程中理清思路、探明方法，体验解决问题的过程.通过深度学习，感悟数学的本质，发展思维能力，提升数学素养.

[关键词]拼图;多边形内角和;数学实验;“做”数学

教材分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出“基本活动经验”的新目标，指出“通过丰富的教学方式，让学生在实践、探究、体验、反思、合作、交流等学习过程中感悟基本思想、积累基本活动经验，发挥每一种教学方式的育人价值，促进学生核心素养发展”[1].为了更好地帮助学生借助数学实验学习数学，苏科版6本教材均配备了与知识紧密相连的《义务教育教科书·数学》实验手册，在七年级下册“7.5多边形的内角和与外角和”第2课时就对应设计了一节数学实验课：“探索多边形的内角和”，旨在通过学生的动手拼图，让学生在实践活动中运用分割图形的策略去探索多边形内角和与其边数之间的关系，并在实验操作的基础上增强对问题的感性认识，拓展思维能力，体会化归思想.

学情分析

对于三角形的内角和为180。，学生在小学阶段就已经熟知，在此基础上，可通过将三角形纸片拼接四边形、五边形、六边形，在知识和能力的最近发展区内操作体验，初步感受多边形的内角和与多边形的边数之间的数量关系，并在拼图活动的过程中，将方法迁移至对n边形的分割，利用三角形的内角和推导多边形的内角和，感受转化的策略.

实验目标

通過拼接三角形纸片、分割多边形等活动，探索多边形的内角和与多边形边数之间的数量关系，培养学生的推理能力和化归意识.变“听”数学为“做”数学，变“被动接受”为“主动探究”.通过“做”数学实验体验发现的乐趣，感悟数学的真谛，发展数学思维能力.

实验重难点

重点：运用三角形硬纸片进行拼图时，需在同一平面内将相等的边重合拼成凸多边形，并在拼接的基础上理解每多拼接一个三角形，其内角和就增加180。.

难点：在对n边形进行分割时，分割点所在的位置变化及n边形内角和公式的推导，在实验过程中体验化归的思想方法.

实验工具

苏科版《义务教育教科书·数学》实验手册七年级下附录4配套三角形硬纸片若干、直尺、几何画板软件.

教学过程

1.度量剪拼，初步体验

师：同学们，如图1所示，这是一个三角形，你知道它的三个内角的和是多少度吗？

生（齐）：180°.

师：为什么呢？

生1：用量角器测量可以得到.

师（追问）：还有什么办法？

生2：剪下三角形纸片，再剪下三个角并且拼在一起，通过观察可以得到它们的和.

生3：把剪下的三角形纸片通过折叠可以得到答案.

师：请大家分组合作，展开探究.（一会儿的工夫，各小组纷纷举手汇报）

生4（小组代表）：我们小组剪拼后发现三个角可以拼成一个平角.

生5（小组代表）：我们小组通过折叠三角形纸片（如图2所示），将∠A，∠B、∠C分别折叠至AB边上的∠2，∠3，∠1处，合起来就是一个平角.

……

师：在小学我们就已经发现了三角形的内角和是180°的结论，下面我们接着通过拼图来探究四边形的内角和.

点评让学生在熟悉的问题上进行回忆，通过动手操作，合作探究，加深对任意三角形内角和为定值的理解，为实验探究四边形、五边形……n边形内角和做好铺垫.

2.拼图实验，归纳推导

师：请大家拿出数学实验手册附录4中配套的三角形硬纸片，边拼图边思考.如图3所示，这是一张三角形纸片，大家都知道，它的内角和是180°，如图4，如果在同一平面内用另一个三角形与它拼在一起（长度相等的一边重合），拼成的四边形的内角和是多少度呢？

生6：360°.

师（追问）：为什么？

生6：因为这个四边形内角和可以分成两张纸片6个角的和，即2个三角形的内角和.

师：很好！如图5，如果再拼一个三角形，形成的五边形的内角和呢？

生7：540°，是3个三角形的内角和.

师：（追问）如图6所示，六边形的内角和呢？

生7：是4个三角形的内角和，720°.

师（继续追问）：如图7所示，n边形呢？

生8：（n-2）·180°.

师（追问）：为什么？

生8：五边形由3个三角形拼成，六边形由4个三角形拼成……依此规律，n边形由（n-2）个三角形拼成.

点评用硬纸片拼图，让学生动手操作，体验多边形内角和是由若干个三角形的内角和组成的，在实验活动过程中体会数形结合的思想.

3.抓住顶点，直接分割

师：逆向思考，如果已知四边形ABCD，如何求它的内角和？

生9：可以将它转化为三角形.

师（追问）：如何转化？

生9：如图8所示，连接BD（或连接AC），将其转化为2个三角形.

师：很好！这就是一种化陌生为熟悉的化归思路，如果是五边形呢？

生10：将它分割成3个三角形.如图9所示，连接DA，DB，将其分割为△DEA，△DAB和△DBC.

生11（抢着说）：只需要分割一次，将其分割成1个三角形和1个四边形.

师（追问）：具体一点.

生11（立即补充）：如图9所示，可以看作分割成aBCD和四边形ABDE.

师：很好！如果是n边形呢？

生12：如图10所示，将其分割成（n-2）个三角形，所以其内角和是（n-2）·180°.

点评通过拼图实验得到多边形内角和与其边数之间的关系后，演变为将多边形进行分割，回归至我们熟悉的三角形内角和，体现了化陌生为熟悉的化归思路.

4.变换位置，殊途同归

师：同学们，下面我们借助几何画板来看看还有没有其他的分割方法.如图11所示，如果我们将图10中n边形的顶点A移动至它的内部一点O的位置（教师操作演示），你能用含n的代数式表示出其内角和吗？请大家分小组进行探究.

生13（小组代表冤：图11中的分割方法是将n边形分割成了n个三角形，但多了中间的一个周角，所以其内角和为n·180°-360°=（n-2）·180°.

师：在分割时，我们将分割点从多边形的顶点处改变至多边形的内部，除此方法之外，还可以怎样改变点的位置进行分割呢？有不同思路的同学可以上台来体验一下.

生14上台将点A拖动至多边形一边上的点P处，如图12所示.

师：此时多边形被分割成多少个三角形？如何推导出其内角和公式？

生14：分割成（n-1）个三角形，但多了以点P为顶点的一个平角，所以其内角和为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

师：太好了！还有没有不同的分割方法？

生15上台将点拖动到如图13所示的位置，点Q取在多边形外部.

师（追问）：这种位置下如何推导其内角和公式？

生15：此时最外围的多边形边数比原多边形边数多1，其内角和比原来多了一个△QMN的内角和，所以原多边形内角和为（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.

师：分析得真好！事实证明，改变分割点的位置，我们都推导出了n边形的内角和公式.

点评无论是图11中的内部取点，四面分割，还是图12中的一边取点，发散分割;或者图13中的外部取点，强行分割，都是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和予以解决，达到了化难为易、化陌生为熟悉的目的.

5.由内到外拓展延伸

师：研究了多边形的内角和，我们再来看看它的外角和.如图14所示，41，42，43分别是原三角形三个内角的邻补角，如何计算这三个角的和呢？

生16：用三个平角之和减去三个内角之和.

师（追问）：具体结果呢？

生16：3×180°-180°=360°.

师：如图15所示，如果将图14中的三角形改为四边形，则其4个外角之和呢？

生17：4个平角之和减去四边形的内角和，即4伊180°-2×180°=360°.

师（追问）：如图16所示，如果将三角形改为n边形呢？

生17：n个平角之和减去n边形的内角和，即n×180°-（n-2）×180°=360°.

师：请用文字语言归纳上述结论.

生18：任意一个多边形的外角和等于360°.

师：对！多边形的外角和是一个定值，它不会随着边数的变化而变化.

点评通过对多边形内角和的探究，顺势进一步延伸得出多边形的外角和恒等于360°，结论水到渠成，学生在收获惊喜之时，意犹未尽！

师：通过今天的实验探究，你有哪些收获？说出来大家一起分享.

生19：我學会了拼图计算多边形的内角和，并且会反过来对多边形进行分割.

生20：我体会到了转化的策略，我们要善于将陌生的问题转化为熟悉的问题予以解决.

生21：我觉得对一个问题的探索需要智慧，更重要的是要自己动手，主动探究，学会化归.

……

教学反思

1.数学实验的直观性体验

事实证明：“动手实践”也是学习数学的一种重要方式.数学实验具有很强的直观性，参与数学实验的人感受于实践，通过自己的亲身体验获得的“劳动成果”，印象会特别深刻，探究动力特别强烈.“动手操作”与“动脑思索”往往是同步的，如何动手操作？必须先动脑思索，通过“脑动”指挥“手动”，反过来，手动又会促进脑动，激发思维，形成能力.所以动脑与动手往往同步进行，协调发展，提升能力.数学实验的直观性体现在学生“做”数学的过程中能够看得见、摸得着，有直观的感受，其数学原理就蕴藏在“做数学”的过程之中，“做”往往比“听”理解更全面，认知更准确，体会更深刻，通过做数学实验将人的各种认知器官进行全面调动，是学习效率很高的一种方式，其直观性的优势尽显无疑.

2.数学实验的片断化处理

数学实验教学不应拘泥于时间的长短，它可以是一节完整的专题实验课，也可以是一堂课的过程中某一教学片断，教学过程中可以按照实际需要进行合理安排，所以数学实验教学应该具有很强的灵活性.在本节课中，由一开始的有学生想度量三角形内角和，到剪下三角形纸片的三个角拼成平角，再到折叠三角形纸片将其三个内角拼成一个平角，都是不同情境下的数学实验片段，也是学生思维内驱力下的自然流露.接着由三角形拼成四边形、五边形……n边形，在逆向思维的引领下对多边形进行分割，最终过渡到几何画板对多边形进行分割，将数学实验从动手操作延伸至运用几何画板软件进行操作，其过程不只是为了数学实验而进行单纯的实验，而是将“动手”实验的体验无缝对接到“动脑”思索为主线的探究，使学生在数学实验的引领下成为问题探究的主人.因此，数学实验的教学安排应该因需而定，注重灵活性、实用性，对衔接的非实验教学内容要做到思维主导、自然过渡.

3.数学实验的现代化融合

电脑的普及和现代科技的加入，使得数学实验已经不再是纯粹的“实验”，我们可以将数学实验通过几何画板进行操作，方便的同时又体验到了实验的真实性.本课例中，探究多边形内角和公式的思路是对图形进行分割，其方法是将多边形分割成若干个熟悉的三角形，分割点取在哪儿？如果全靠动手画、剪、算，操作不方便且不利于实验探究，但几何画板只要一根手指，将动点轻轻拖动，就可以任意改变分割点的位置，无论是从一个顶点出发进行分割，还是从多边形内部取点，或者从多边形一条边上取点，甚至在多边形的外部取点进行分割，几何画板都能轻松搞定.只要想得到，就能拖得到，几何画板让数学实验插上腾飞的翅膀，使数学实验更有活力与魅力.但凡事都有个度，如果我们一味地追求科技与方便而忽视数学实验的初衷与本味，必将适得其反.实验源于动手，起于操作，在实践中获得认知和灵感，所以原始的动手操作与现代的几何画板可以相互补充，相互融合，相得益彰.

4.数学实验的有效性延伸

数学实验的目的是通过感官体验，提升对问题的认识深度和广度，在实验操作的基础上，通过实践体验打通思维的瓶颈，拓宽思维的宽度，其根本目的是通过“做”数学体验发现的乐趣，发展数学思维，提高实践能力和创新意识，逐步积累数学活动经验，并最终回到数学思维的轨道上来.从知识层面上来看，数学实验可以让我们在“做”数学的亲身感受过程中领悟其中的思想与方法，将知识与技能有效提炼，使自身解决问题的思维有效延伸，为解决新的问题做铺垫.从育人的角度来看，学生经历“做”数学的过程，能有效提升学生学习数学的兴趣，唤醒孩子学习数学、学好数学，甚至爱上数学.所以，从这个角度来看数学实验具有很好的育人功能和导向作用.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.