提炼基本模型，建构解题方法

[摘要]在解决数学问题的过程中，探究答案只是第一步，提高解题素养才是最终目的.多角度联系知识点，以基本模型为突破口，能快速越过解题障碍，找到正确的解题方向，建构系统的解题方法.

[关键词]线段;模型;思想方法

在呈现数学结果的同时，教师应重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型，寻求结果，解决问题的过程[1].因此，数学学习不仅要关注结果，更要关注解决问题的过程，注重知识经验的积累和基本模型的应用.课程内容也包括蕴含的数学思想方法.这就要求学生在掌握相关知识的基础上，还要领悟数学思想并归类数学方法.文章以一道中考几何复习题为例，探究如何提炼基本模型，寻找解题思路，建构系统的解题方法.

原题呈现

原题如图1所示，沿折痕AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在对角线AC上的点F处.若AB=6，AD=8，求CE的长.

分析本题以折叠为背景求线段的长度，条件清晰明了，涵盖三角形、矩形、折叠的有关性质，涉及全等三角形、垂直、勾股定理、线段中垂线、相似三角形等核心知识，能用多种方法求解，既能给学生提供广阔的思维空间，又能提高学生的解题素养.

在几何题中如何求线段的长度呢？显然，由于线段DE=EF且DE+EC=DC=AB=6，所以线段CE的长可由DE或EF的长来转化.下面分别从“形”和“数”两方面探究解题思路：

“形”，即模型法，首先从直观出发，找出与所求线段相关的基本图形，如△CEF，△ADE，△AEF和△AEC，然后运用几何模型架起一座沟通已知线段与所求线段的桥梁，最后建立等量关系求解;

“数”，即代数法，深挖题目条件反映的代数方法，可从建立方程、运用线段长度公式、利用两线段的比例关系等方面来分析.

解法探究

1.勾股定理，直接入题

思路1通过观察可以发现，在含有所求线段的图形中，△CEF最小，于是提取此直角三角形.由条件易知CE+EF=6，CF=2，可运用勾股定理建立CE，EF与CF之间的数量关系，再通过设未知数建立方程求解.

小结勾股定理是直角三角形中求边的长的第一选择，也是学生最熟悉的方法，具有简单直接、快速入题的效果.若已知直角三角形中任意两条边的长或一条边的长与另两条边的数量关系，可优先考虑勾股定理.

2.借助比例，快速解答

思路2分析△CEF中三条边的关系可知CF=2，CE与EF的长未知，可尝试建立已知边长与未知边长的比例式.联想与△CEF相关联的图形，于是可建立相似模型，利用相似三角形来求解.

小结相似法是初中数学中求线段长度的必胜法宝，能与多个知识点发生联系，应用范围较广，且模型千变万化.题中出现多个直角三角形，提示有相似的可能.锁定目标图形△CEF，发现公共角模型和三垂直模型，且△CAD和△ABC的三边长已知，于是相似方法可行，如解法2和解法3，这两种解法简便易懂，计算量小.关注“折叠”这一条件，便会联想到等腰三角形DEF，通过构造隐形圆，将两个相等底角转化为圆周角，进而作辅助线，构造相似“X模型”和“A型”模型，求出线段DE和CE的比例，如解法4.解法4巧妙地结合圆，构造二次相似，两次转化两条线段的比例.此法新颖有趣，犹如柳暗花明又一村，令人耳目一新.此解法由于涵盖线段中垂线、三角形、相似、圆等多个知识，因而辅助线较为复杂，思维跳跃性高，所以能想到此法的学生较少，显得弥足珍贵.

思路3几何模型同“思路2”，代数方法另辟蹊径.由Rt△CEF中两条边的比例联想锐角三角函数，通过同角或等角的三角函数建立等式，从而求解.

小结锐角三角函数法与相似法有异曲同工之妙，都是通过建立三角形两条边的关系来求解，从本质上看是一样的.不同之处在于，相似法关注图形的变化，适用于所有图形;三角函数法侧重角的两边比例，只能在直角三角形中运用.在直角三角形的两边比例问题中，数形结合，相得益彰.

3.出现垂直，面积搭橋

思路4基于目标线段所在的图形进行分析，△CEF，△AEF，△AEC，△ADE和△ACD中出现了多个垂直关系，则CE，DE，EF均可作为某个三角形的底边或高，于是可尝试从面积入手，分别建立△ACD，△AEC和△CEF的等面积模型.

小结从位置关系看，DE和EF都能看作三角形的高，因此联想到面积法.用分割法将△ACD分为两个等高的三角形，先求出高，再求出CE的长，如解法7.用两种方法表示出△AEC或△CEF的面积，构造方程求出CE的长，如解法8和解法9.思路4提示我们：出现垂直，面积搭桥.

4.特殊线段，坐标转化

思路5转换思维，从线段DE或EC本身思考，可结合两点坐标法求线段的长度，于是可构建平面直角坐标系模型，将线段CE置于竖直方向，利用两端点的纵坐标差值来求CE的长.

小结解法10把矩形、三角形、折叠的有关性质与直角坐标系、一次函数及点的坐标等知识有机结合，实现了知识的横向跨越;运用代数方法求解几何问题，能简化思维过程，并将复杂的几何问题抽象为两个点，将数形结合思想发挥得淋漓尽致.解法10不仅让学生大开眼界，而且让学生体会到了数学方法的奇妙无穷.解法10巧借矩形的直角构造了平面直角坐标系，利用竖直方向线段的长可由两端点的纵坐标差值来求解，将问题转化为求点E的坐标，并通过直线AG的解析式和中点G的坐标来实现转化.解法10思路巧妙，对学生的能力要求较高.另外，在平面直角坐标系中，解法10还可以推出任意位置线段的长，

解题反思

1.拓展知识层面，启发解题思路

初中数学知识分为三大体系九大类：数与代数（数与式，方程与不等式，函数），空间与图形（图形的认识，三角形的全等与相似，平行四边形，锐角三角函数，圆），统计与概率.几何综合题考查的知识面较广，只有广泛联系各个知识点才能启发解题思维，实现一题多解.例如本文题目，通过深挖题目内涵，分析求边的长的各种方法，联系三角形、矩形、图形折叠、圆、一次函数、三角函数、相似等多个知识点，实现一题十解，不但丰富了学生的解题方法，提升了学生的解题素养，而且激发了学生的数学兴趣，拓宽了学生的解题视野.

2.提炼基本模型，寻找解法突破

模型法是解决几何综合题的捷径，它能化繁为简，快速找到解题突破口.教师应让学生在熟练掌握系统知识的基础上，从复杂的几何图形中发现基本模型，总结常见模型，渗透模型理念，以提升他们的综合分析能力.同时，要让学生深入理解模型应用的本质，体会其所反映的数学原理.本文首先由直角三角形模型联想勾股定理和方程思想;然后通过相似三角形模型建立比例，或三角函数建立方程，并利用圆构造二次相似模型;接着提炼多个三角形的高的模型，联想面积法;最后突破常规，创设直角坐标系模型，运用数形结合思想，利用函数方法求解.解决本题的关键是提炼基本模型，并运用数学思想和方法.几何模型能开启学生的思维大门，并提供解题突破口，具有点石成金的作用.

3.建构解题方法，反思总结提升

解完试题后，学习过程还没有结束，还需要总结升华，形成一套解题方法体系.总结时可以从知识点、数学思想方法等方面进行提炼，归纳出一类题的解法，从而建构出一般的解题方法，并适当进行延伸拓展，补充其他方法，形成完备的方法体系.本文根据所求线段的特点分为四种思路：第一种，将所求线段看成特殊的直角三角形的一边，运用勾股定理进行求解，此法简单、直接;第二种，将所求线段看成一般三角形一边的长，由于不能直接求，所以借助两边比例求解，常用的方法是相似和三角函数，此法常规、简便;第三种，将所求线段看成一般三角形的底边或高，用面积法，运用此法的前提是有垂直条件;第四种，将所求线段看成两点之间的距离，在平面直角坐标系中，运用两点之间的距离来求.上述思路可總结为：直接法、间接法、特殊位置法、两点距离法.其中，第一种方法和第三种方法是特殊方法，第二种方法和第四种方法是通用方法.除此之外，求线段的长的方法还有等量代换法和割补法等.通过反思总结，学生能掌握模型思想、方程思想、函数思想、转化思想等思想，且在思维的广度和深度上都有收获.

探寻解题之道是数学永恒的话题.在解题中发现模型之美，方能开出思想方法之花.因此，不断积累，反思提升，悟其本质才是真知灼见.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]李芳.注重题目变通，提升思考能力——对一道课本习题的多方位探究[J].中小学数学（初中版），2017（z1）：76-78.