导数思维在高中数学解题中的应用

高艳

【摘 要】  数学是高中阶段的重点学科，作为必修课程，高中数学涉及的重点内容较多，难度较大且知识点间的联系较为密切，导数是数学发展的里程碑，为了更好地学习数学知识，必须打好导数学习的基础，新课改后导数概念被引入高中数学学习中，作为高考考试的新兴热门话题，导数与数学解题的关系更进一步，导数蕴含的数学知识丰富，在高中数学解题中正确运用导数思维，能够帮助学生将解题过程化繁为简，同时使学生直观明了地确定题目的性质，继而掌握最佳解答思路，为高中生日后的数学学习打好基础，指明方向.

【关键词】  高中数学;导数思维;高考解题

1 引言

高中数学知识难度相对较高，且影响学生正确解答题目的因素较多，因此在数学实际教学中，教师注重多样化教学方法显得尤为重要.导数正成为现代教育的重要关注点和高考考查重点，帮助学生树立导数思维，提升更好解决问题的能力，将导数的基础知识掌握扎实并在实际数学学习中能够灵活运用所学知识解决问题，正确高效地解决不等式、函数等问题.

在降低解题难度的同时能够提升学生的耐心，锻炼学生的发散性思维，培养学生养成独立学习和自主思考的好习惯，便于任课教师总结教学出现的问题，调整完善教学模式，扩展学生思维，提高学生的创造性能力  [1] .为高中生数学学习作出正确引领，因此，导数在高中数学中发挥着重要的导向性作用，将导数思维合理应用到高中数学中至关重要.

2 导数思维的概述

导数是一种特殊的函数，具有函数的基本性质，是数学学习的过渡与转变的标志，是数学微积分科目的重要基础，也是帮助人们正确高效学习数学知识的关键，作为微积分领域的一项重要的内容，应用导数思维最根本的概念就是导函数值，即根据题目给出的基础的初等函数求出导函数，任意的一个数值均有对应的一个导函数值，同时，导数概念与几何意义也有着一定联系，即函数曲线上某一点处的切线的斜率.

导数的几何意义对于加深对导数的本质概念的理解、正确解题有着重大的指导意义，与此同时应扎实掌握导数的性质，导数性质的合理运用在高中数学学习阶段扮演着风向标的角色.

导数知识作为数学学习的重点知识，在与其他数学知识相联系时能够演变出多种样式的新题型，函数的变化趋势在高中数学教材中有所体现，学生在学习初等函数时就可以运用导数知识.

相对来讲，求导能够将题目化繁为简，应试考试中导数类题型的出现率正逐年递增，因此高中数学教学的重难点便是教会学生将导数作为灵活解决问题的工具，帮助学生养成用导数解答题目的思维，以此快速辨别是否需要通过求导解决困难，简捷地提升效率，以此作为突破点来解决问题.

3 高中数学中导数思维的应用价值

作为高考试题的必考题型，导数知识点多且具体，对学生创新观念的要求随着高考数学命题方式的变化不断提高，考试已不再是单纯对教材知识的考核，强化数学思想，增强思维能力是当今时代教育思想的重中之重.

导数作为高中数学学习的重要知识点，与函数、方程、向量、几何、不等式等知识点联系密切，导数知识点作为高考数学的重难点  [2] ，是对学生综合水平的重大考验，运用导数解决数学难题，有着降低对数学理论理解的难度、提高学生的解题效率的优势，同时对于提升理科知识对高中生的吸引力以及增强高中生的创新实践能力也有着积极影响.

此外，理科学科都是相通的，各学科间联系紧密，学生高中时期所学习的导数知识在物化生学习、工程建设等知识学习中都起着积极的引导作用.在高中生基本了解掌握导数知识后，学生在接触物理学习中的匀变速直线运动特点的知识时能够相对得心应手，能够帮助学生理解化学板块中的反应速率及平衡方程方面的知识点，在此基础上，高中生的理科学习过程能够简捷高效，达到事半功倍的效果，授课教师以导数知识为出发点授课，能够助力高中生理科思维的正确养成及全面发展.

4 导数思维在高中数学解题中的实际运用

数学学科的解题思路主要以三个方向为出发点：首先需要理解题意，首要任务是将抽象化的问题变具体，明确题目的结构;其次是构建模型，模型的构建主要是依靠数学方法，在构建模型的过程中找出數学问题，明确题目的变量，明确待求量与已知量之间的关系，并将题目的相关问题体现在所建模型中，待模型构建工作结束后，对应已知信息列出支持求解的正确的数学表达式.

在高中数学知识的求解过程中，对导数的概念进行分析的同时，要将其形象化，加强对导数性质的了解，对导数知识多加温习巩固.在高中阶段，通常在求导的过程中便能够发现问题的突破点，因此能够及时规避题目干扰项对解题的错误引导，在高中数学解题中合理运用导数，不仅能够辅助学生温故知新，为迎接高考做好充分准备，还能为大学数学知识的学习起到承上启下的关键作用，稳固基础的同时作为引玉之砖为学生未来数学知识的学习做好铺垫.

在教育改革新时代的现实背景下，助力高中生思维能力的培养是当前时期的必要任务之一，也是提高高中生全面发展的必要举措，导数解题法在不同类型题目中均可广泛运用.数学学科授课教师应积极引导学生养成导数思维并运用导数思维简化问题，以导数为工具高效解答多种类型的数学题目.将导数合理应用到实际生活与学习中，发挥数学实用性的积极影响.

4.1 运用导数求导解决函数单调性问题

作为高中数学学习的重要组成部分，函数习题对数学学习有着基础性作用，但由于函数知识有着复杂及难度大的特点，导致学生在对多样化习题进行解答的过程中极易受多种因素干扰，从而导致解题思路不明确、难以掌握正确解题方法的情况发生，也会因此对学生数学能力的提升造成限制.

作为高考必考题型，若是运用传统方式进行解题，需要以下步骤：首先学生需要根据题目要求画出函数图像，其次依据图像明确函数的单调区间，费时费力的同时在画图及看图的步骤中极易增加出错率，运用导数则可以将解题过程化繁为简：首先学生明确题目所给图形的开口方向、函数的单调性等问题，清楚函数的性质，在此基础上，运用导数便能够清晰了解函数递增递减的变化趋势，求导后通过看导数在某个区间是大于0还是小于0，便能够决定函数是单调递增函数，还是单调递减函数，无须画图且出错率低.

由此可见，在判断函数单调性中的应用导数能够起到立竿见影的效果，通过以上所说的简便方法，能够使复杂的问题迎刃而解  [3] .

应用導数思维进行解题的方法简捷高效，学生解题思路不通时，以导数为突破点分析问题，通常能够快速准确地破解难题;接触陌生的题目时，灵活地运用导数知识进行解题能够开拓思路，在巩固所学知识的同时，也让学生能够在函数问题中学会闻一知十、融会贯通地解决难题，降低高中数学的学习难度，同步提高解题的效率与准确率.激发高中生的学习潜能，减轻数学学科的学习负担.

4.2 运用导数解决不等式问题

不等式知识在高中数学知识中占比很高，同样属于高考数学的重点考查知识，相对来讲，不等式问题的解题方法较多，学生解题错误的基本因素均是受解题方法的影响.

学生在对不等式知识进行学习时，简化解题过程就变得尤为重要，运用导数能够轻松达到简化答题过程的目的，帮助学生加深对不等式知识点的理解并总结高效的解题方法，学生通过学习过程中不断总结思考解题经验，对导数与不等式结合的出题特点了然于心，灵活运用导数思维，将复杂的不等式问题转化为得心应手的函数问题，进而通过求导等操作解答问题，将判断不等式是否成立的问题变得简单化，具体化  [4] .

导数思维可以应用体现于多种类型的数学题目中，多数情况下的不等式问题都可以通过转化为函数问题的方法轻松解决，灵活运用导数思维进行解题是简化数学问题的直接有效途径，帮助学生养成细心观察的好习惯，活络思维，以简驭繁.

4.3 运用导数求导解决数列问题

数列在高中数学阶段也有着举足轻重的地位，是高考考试的大题必考，难度较大且分值占比较高.

数列实际意义上是一种特殊函数，数列的通项公式与函数的表达式为同一概念，数列问题是综合题和创新题，数列的应用更加注重学生观察力及创新力，因此，对学生掌握数列问题解答技巧的要求较高，教师应在数列问题的教学以及特殊数列问题的解决中积极引导学生运用导数思维，对数列问题的解答方法做到得心应手，以细节为出发点教学，最大限度地将导数的积极作用及优势与数列问题的解决方式相融合，致力培养学生的数学思维，提高数学课堂的整体效率  [5] .

4.4 运用导数解决求最值问题

在应试考试数学考题设计中，至少会设置一道求最值的题目，相对于函数、不等式问题来说，求最值类型题目的难度较低，重点考查考生是否具备耐心及缜密的思维分析能力，考生只有细致地掌握函数的基本知识，才能够轻松正确进行求最值问题的解答，避免因混淆知识点导致解答错误的情况发生.

由于一般函数都不止一个最值且各个最值间极易混淆，因此不适合运用画图解题的方法，运用导数解决最值问题是最省时有效的简便方法，通过导数求出单调性，明确知悉各个区间的递增递减情况，排除特殊情况后，求出区间的转折点，即函数各个最值的所在点，简便快捷地求出答案  [6] .

在解决复合函数问题时，导数更是起着举足轻重的作用，简化求复合函数值的过程的同时提高了结果的准确率.运用导数对单调性进行确切判断后，可以省去数形结合需要的画图环节，大大节约了解题时间.在运用导数解答求值问题的实际教学过程中，需不断加深高中生对解题技巧的理解，全面细致地提高学生学习效率及教师教学水平.

5 结语

高中数学是高中极为重要的一门功课，高考作为国家进行人才选拔的主要方式，是学生人生的重要转折点，作用重大，影响深远.导数作为高中数学学习的主线，起着至关重要的作用   [7] .

深入理解导数的概念、性质等基础知识，在高中数学学习阶段积极引入导数，正确引导高中生灵活运用导数，在帮助高中生提高利用导数知识解题的能力的同时，避免浪费解题时间，提高题目结果的正确率，加强高中生对导数知识的应用意识，将导数作为学习数学的宝贵工具，能够为高中生日后的理科学习做好充足的知识储备，对提升高中生数学成绩，为我国理科教育培养人才均有着秉轴持钧的影响.

参考文献：

[1] 谭军港.导数在高中数学解题中的应用探析[J].数理化学习（教研版），2019（08）：5-6.

[2]傅雪慧，刘惠萍.高中数学解题中应用导数的策略探究[J].数理化学习（教研版），2019（10）：5-6.

[3]谯洪斌.导数在高中数学解题中的应用探究[J].新课程研究（上旬刊），2019（02）：52-53.

[4]李树凡.导数在高中数学解题中的应用分析[J].数学学习与研究，2020（04）：36.

[5]周炜波.高中数学中导数解题教学策略[J].数学学习与研究，2021（22）：18-19.

[6]朱天云.导数在高中数学解题应用中的策略分析[J].高考，2020（32）：113

[7]杨志远.浅析导数在高中数学中的地位与应用[J].数学学习与研究，2021（03）：127-128.