从自变量的变化特征看抽象函数性质

张静元

【摘 要】  本文通过类比函数单调性定义，给出函数的奇偶性、对称性、周期性的新定义，统一用“设f（x）的定义域为I，x 1，x 2∈I，当x 1，x 2满足某种确定关系，对应的函数值f（x 1），f（x 2）都有固定的关系”来定义函数性质，用统一的格式定义函数性质，有共同特征，也有显著不同，学习这类问题不容易混淆.另外对于抽象复合函数f（ax+b）的性质，也是一个难点，本文统一将f（ax+b）=F（x），转化为研究F（x）的性质来揭示f（ax+b）的性质.

【关键词】  抽象函数;统一定义;函数性质

函数单调性定义：“如果对于I上任意两个值x 1，x 2，当x 1

定义揭示了两个自变量满足一种确定关系“x 1

（1）设f（x）的定义域为I，x 1，x 2∈I，当x 1+x 2=0时，都有f（x 1）=f（x 2），就称f（x）为偶函数.

（2）设f（x）的定义域为I，x 1，x 2∈I，当x 1+x 2=0时，都有f（x 1）=-f（x 2），就称f（x）为奇函数.

（3）设f（x）的定义域为I，存在一个不为零的常数T，x 1，x 2∈I，当x 1-x 2=T时，都有f（x 1）=f（x 2），就称f（x）为周期函数，周期为T.

1.研究函数y=f（x）的性质

先思考下面问题：

若函数f（x）满足下列关系之一：

（1）f（1-x）=f（x-1）;

（2）f（1-x）=f（x+1）;

（3）f（1-x）=f（-x-1）.

（4）f（1-x）=-f（x-1）;

（5）f（1-x）=-f（x+1）;

（6）f（1-x）=-f（-x-1）.

则函数f（x）对应的性质是什么？

分析  （1）对于函数f（x）满足

f（1-x）=f（x-1），

设x 1=1-x，x 2=x-1，

则 x 1+x 2=0，且f（x 1）=f（x 2），

所以函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.

对于函数f（x）满足f（a-bx）=f（bx-a），

同样设x 1=a-bx，x 2=bx-a，

则 x 1+x 2=0，且f（x 1）=f（x 2），

函数f（x）都是偶函数.

推广  满足f（a-bx）=f（bx-a） （b≠0） 的函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称.

（2）函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），

设x 1=1-x，x 2=x+1，则

x 1+x 2=2，且f（x 1）=f（x 2），

即 f（x）的图象上任意两点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）满足

x 1+x 2 2 =1，y 1=y 2，

则 A，B两点关于直线x=1对称.

由于A，B两点的任意性知

满足x 1+x 2=2，且f（x 1）=f（x 2）的函数f（x）的图象关于直线x=1对称.

推广  满足f（a+cx）=f（b-cx） （c≠0） 的函数f（x）的图象关于直线x= a+b 2 对称.

（3）函数f（x）满足f（1-x）=f（-x-1），

设x 1=1-x，x 2=-x-1，则

x 1-x 2=2，且f（x 1）=f（x 2），

所以 函數f（x）是周期函数，周期为2.

推广  满足f（a+cx）=f（b+cx） （c≠0） 的函数f（x）是周期函数，周期T=a-b.

（4）函数f（x）满足f（1-x）=-f（x-1），

设x 1=1-x，x 2=x-1，则

x 1+x 2=0，且f（x 1）=-f（x 2），

所以 函数f（x）是奇函数，图象关于原点（0，0）中心对称.

对于函数f（x）满足f（a-bx）=-f（bx-a），

同样可设x 1=a-bx，x 2=bx-a，

则 x 1+x 2=0，且f（x 1）=-f（x 2），

所以 函数f（x）是奇函数.

推广  满足f（a-bx）=-f（bx-a） （b≠0） 的函数f（x）是奇函数，图象关于原点（0，0）中心对称.

（5）函数f（x）满足f（1-x）=-f（x+1），

设x 1=1-x，x 2=x+1，

则 x 1+x 2=2，且f（x 1）=-f（x 2），

即 函数f（x）图象上的任意两点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）满足

x 1+x 2 2 =1， y 1+y 2 2 =0，

则A，B两点关于点（1，0）中心对称，

由于A，B两点的任意性知，满足x 1+x 2=2，且f（x 1）=-f（x 2）的函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称.

推广  满足f（a+cx）=-f（b-cx） （c≠0） 的函数f（x）的图象关于点  a+b 2 ，0 中心对称.

同理，满足f（a+cx）=m-f（b-cx） （c≠0） 的函数f（x）图象关于点  a+b 2 ， m 2  中心对称.

（6）函数f（x）满足f（1-x）=-f（-x-1），

设x 1=1-x，x 2=-x-1，

则 x 1=x 2+2，且f（x 1）=-f（x 2），

所以 f（x 2+2）=-f（x 2），

f（x 2+4）=f（x 2），

即 函数f（x）是周期函数，周期为4.

推广  满足f（a+cx）=-f（b+cx） （c≠0） 的函数f（x）是周期函数，周期T=2|a-b|.

一般情况下，研究抽象函数的性质，可以先观察自变量满足什么特定关系，再研究对应的函数值的关系.

2.抽象函数性质归纳如下

（1）x 1+x 2=0，f（x 1）=f（x 2），f（x）是偶函数，函数值的特征关系为f（x）=f（-x）.

（2）x 1+x 2=0，f（x 1）=-f（x 2），f（x）是奇函数，函数值的特征关系为f（x）=-f（-x）.

（3）x 1+x 2=2a，f（x 1）=f（x 2），f（x）图象关于直线x=a对称，函数值的特征关系为f（x）=f（2a-x）.

（4）x 1+x 2=2a，f（x 1）+f（x 2）=2b，f（x）图象关于点（a，b）对称，函数值的特征关系为f（x）=2b- f（2a-x） .

（5）x 1-x 2=a，f（x 1）=f（x 2），f（x）为周期函数，周期T=a，函数值的特征关系为f（x）= f（a+x） .

（6）x 1-x 2=a，f（x 1）=-f（x 2），f（x）為周期函数，周期T=2a，函数值的特征关系为f（x）= -f（a+x） .

3.复合函数y=f（ax+b）的性质

如何理解复合函数的性质？我们先看以下三个问题：

（1）函数f（3x-2）是偶函数，则函数f（x）具有什么性质？如果f（3x-2）是奇函数呢？

（2）函数f（3x-2）图象的对称轴是x=2，则函数f（x）具有什么性质？函数f（3x-2）图象关于点（2，0）中心对称呢？

（3）函数f（3x-2）是周期为2的周期函数，则函数f（x）具有什么性质？

研究复合函数f（ax+b）的性质，一般可设f（ax+b）=F（x），先研究F（x）的性质，从而得到f（ax+b）的性质.

分析  （1）设f（3x-2）=F（x），

则 F（x）是偶函数，

即 F（-x）=F（x），

所以 f（-3x-2）=f（3x-2），

设x 1=-3x-2，x 2=3x-2，

则 x 1+x 2=-4，f（x 1）=f（x 2），

所以 f（x）的图象关于直线x=-2对称;

若F（x）是奇函数，则F（-x）+F（x）=0，

所以 f（-3x-2）+f（3x-2）=0，

则 x 1+x 2=-4，f（x 1）+f（x 2）=0，

故 f（x）图象关于点（-2，0）中心对称.

推广  函数f（ax+b） （a≠0） 是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=b对称;函数 f（ax+b） 是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.

（2）F（x）图象的对称轴是x=2，

即 F（x）=F（4-x），

所以f（3x-2）=f[3（4-x）-2]=f（-3x+10），

则 x 1+x 2=8，f（x 1）=f（x 2），

所以 f（x）的图象关于直线x=4对称;

若F（x）的图象关于点（2，0）中心对称，

即 F（x）+F（4-x）=0，

所以 f（3x-2）+f（-3x+10）=0，

则 x 1+x 2=8，f（x 1）+f（x 2）=0，

所以 f（x）的图象关于点（4，0）中心对称.

推广  函数f（ax+b） （a≠0） 的图象的对称轴是x=m，则函数f（x）的图象关于直线x=ma+b对称;函数f（ax+b）图象关于点（m，0）中心对称，则函数f（x）的图象关于点（ma+b，0）中心对称.

（3）F（x）是周期为2的周期函数，

则 F（x）=F（x+2），

所以f（3x-2）=f[3（x+2）-2]=f（3x+4），

则 x 1-x 2=6，f（x 1）=f（x 2），

所以f（x）为周期函数，周期T=6.

推广  函数f（ax+b） （a≠0） 是周期为m  （m≠0）  的周期函数，则函数f（x）是周期为ma的周期函数.

我们再看以下几个问题：

（4）函数f（3x-2）是偶函数，且图象关于直线x=2对称，则函数f（x）具有什么性质？

（5）函数f（3x-2）是奇函数，图象关于直线x=2对称，则函数f（x）具有什么性质？

（6）函数f（3x-2）是奇函数，图象关于点 （2，0） 中心对称，则函数f（x）具有什么性质？

通过以上研究，得到

函数f（3x-2）是偶函数f（x）图象关于直线x=-2对称;

函数f（3x-2）是奇函数f（x）图象关于点（-2，0）中心对称;

函数f（3x-2）图象的对称轴是x=2f（x） 图象关于直线x=4对称.

（4）转化为f（x）图象关于直线x=-2，x=4对称，则函数f（x）是周期为6的周期函数.

推广1   函数f（ax+b）图象有两条对称轴x=m，x=n，则函数f（x）是周期为2（m-n）a的周期函数.

推广2   函数f（ax+b）图象有一个对称中心（m，0），一条对称轴x=n，则函数f（x）是周期为4（m-n）a的周期函数.

通过以上研究，我们知道一个函数如果有两条对称轴或一个对称中心，一条对称轴，函数都具有周期性，那么一个函数有两个对称中心，是否具有周期性？

（6）函数f（3x-2）是奇函数

f（x）图象关于点（-2，0）中心对称，

即 f（x）=-f（-4-x）;

函数f（3x-2）图象关于点（2，0）中心对称

f（x）图象关于点（4，0）中心对称，

即 f（x）=-f（8-x）.

所以 f（-4-x）=f（8-x），

故 函數f（x）的周期为12.

思考  对于函数f（x）图象关于点（a，b）和点（c，d）对称， 是否具有周期性呢？

由以上研究可知函数f（x）满足

2b-f（2a-x）=2d-f（2c-x），

即 f（2a+x）=f（2c+x）+2b-2d，

若b≠d，则函数不能确定具有周期性，如f（x）=x，图象关于点（0，0）和（1，1）中心对称，但f（x）=x不是周期函数.

4.抽象复合函数f（ax+b） （a≠0） 性质

（1）函数f（ax+b）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=b对称;

函数f（ax+b）是奇函数，则函数f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.

（2）函数f（ax+b）图象的对称轴是x=m，则函数f（x）的图象关于直线x=ma+b对称;

函数f（ax+b）图象关于点（m，0）中心对称，则函数f（x）的图象关于点（ma+b，0）中心对称.

（3）函数f（ax+b）是周期为m的周期函数，则函数f（x）是周期为ma的周期函数.

（4）函数f（ax+b）图象有两条对称轴x=m，x=n，则函数f（x）是周期为2（m-n）a的周期函数.

（5）函数f（ax+b）图象有一个对称中心 （m，0） ，一条对称轴x=n，则函数f（x）是周期为4（m-n）a的周期函数.

（6）函数f（ax+b）图象有两个对称中心 （m，0） ，（n，0），则函数f（x）是周期为2（m-n）a的周期函数.

5.应用

例1   设f（x）是定义在 R 上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x= 1 2 对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）= .

解  由f（x）为奇函数，圖象关于直线x= 1 2 对称，得

f（x）=-f（-x），f（x）=f（1-x），

f（1-x）+f（-x）=0，

令x=0，得 f（1）+f（0）=0，

因为 f（0）=0，

所以 f（1）=0，

同理 f（2）=f（3）=f（4）=f（5）=0，

所以 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0.

例2   已知函数y=f 3x- π 8  是偶函数，且f（x）=a cos 2x+ sin 2x，则a= .

解  由f 3x- π 8  是偶函数，得

f -3x- π 8  =f 3x- π 8  ，

故 f（x）的对称轴为x=- π 8 ，

所以 a cos  2× - π 8   + sin  2× - π 8

=± a 2+1 ，

解得 a=-1.

例3   设f（x）是定义域为 R 的奇函数，且 f（x+1） =f（-x）.若f - 1 3  = 1 3 ，则f  5 3  = .

解  从解析式看，f（x）是奇函数，

即 f（-x）=-f（x），

又 f（x+1）=f（-x），

所以 f（x+1）+f（x）=0，

即 x 1-x 2=1，f（x 1）+f（x 2）=0，

则 f（x）为周期函数，周期T=2，

所以 f  5 3  =f 2- 1 3  =f - 1 3  = 1 3 .

从图象看，f（x）是奇函数，

图象关于（0，0）对称，

f（x+1）=f（-x），

f（x）的图象关于直线x= 1 2 对称，

由相互对称可知

对称中心有（1，0），（2，0），（3，0），…，

对称轴有x= 3 2 ，x= 5 2 ，…，

故 f - 1 3  =f  4 3  =f  5 3  = 1 3 .

例4   设函数f（x）的定义域为 R ，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=ax 2+b，若f（0）+f（3）=6，则f  9 2  = .

解  从解析式看，f（x+1）是奇函数，

f（x+1）=-f（-x+1），

即 f（x）=-f（2-x），

f（x）的图象关于（1，0）中心对称，

所以 f（0）=-f（2），f（1）=-f（1），

从而 f（1）=0，

故 f（0）=-4a-b，f（1）=a+b=0.

f（x+2）是偶函数，

f（-x+2）=f（x+2），

即 f（x）=f（4-x），

f（x）的图象关于直线x=2对称，

故 f（3）=f（1），

所以 -4a-b=6，a+b=0，

解得 a=-2，b=2，

所以 f（x）=-2x 2+2.

由上可得 f（4-x）+f（2-x）=0，

满足 x 1-x 2=2，f（x 1）+f（x 2）=0，

f（x）为周期函数，周期T=4.

所以 f  9 2  =f 4+ 1 2  =f  1 2

=-f 2- 1 2  =-f  3 2  = 5 2 .

从图象看，f（x+1）是奇函数，

f（x）的图象关于点（1，0）对称，

f（x+2）是偶函数，

f（x）的图象关于直线x=2对称.

由对称性可知

（1，0），（3，0），（5，0），…为对称中心;

x=2，x=4，x=6，…为对称轴，

所以 f（0）=-f（2），f（3）=f（1）=0，

从而 f（x）=-2x 2+2，

点A关于（3，0）的对称点B在区间[1，2]，

所以 f（4.5）=-f（6-4.5）=-f（1.5）=2.5.