用“坐标法”解向量题

朱俊鸿

【摘 要】  本文将运用“坐标法”，来解决与向量相结合的平面几何题，力争打破传统的坐标法，从方法上，降低学生思考的难度，从而提高学生解决这类问题的正确率.

【关键词】  坐标法;向量

在学习平面向量的时候，有一类题目很常见，就是将平面向量与平面几何图形相结合的题目，也就是“平面向量基本定理”与“平面向量的線性运算”相结合的应用，因为这类题目考察了学生对向量知识的综合运用，也是高考中比较常考的题目，而且常出现在选择题和填空题中，有些学生对此类题目非常头痛，除了传统的方法，有没有更容易理解，更快速的方法呢？本文将从坐标的角度入手，来求解这类题目.

1 方法初识

例1   在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 EB  =（ ）

（ A ） 3 4  AB  - 1 4  AC  .

（ B ） 1 4  AB  - 3 4  AC  .

（ C ） 3 4  AB  + 1 4  AC  .

（ D ） 1 4  AB  + 3 4  AC  .  （2018年全国卷Ⅰ）

解法1 传统解法

因为 AD为中线，E为AD的中点，

所以  EB  = ED  + DB  = 1 2  AD  + 1 2  CB

= 1 2 × 1 2 （ AB  + AC  ）+ 1 2 （ AB  - AC  ）

= 3 4  AB  - 1 4  AC  ，

故选（ A ）.

解法2 坐标法+特殊值法

假设△ABC为等腰直角三角形，并设边长为2.将△ABC放入直角坐标系xOy中，如图2，可以得到各点的坐标：

A（0，0），B（2，0），C（0，2），D（1，1），E  1 2 ， 1 2  ，

于是题目转化为

EB  =λ AB  +μ AC  ，

只需要把λ，μ求出来就可以了.

又  EB  =  3 2 ，- 1 2  ，

AB  =（2，0）， AC  =（0，2），

于是有   3 2 =2λ，- 1 2 =2μ，

解得 λ= 3 4 ，μ=- 1 4 ，

故选（ A ）.

例2   在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若 AC  = λ AE   +μ AF  ，其中λ，μ∈ R ，则λ+μ= .

解法1 传统解法

由题意知  AC  = AB  + AD  ，

AE  = 1 2  AB  + AD  ， AF  = AB  + 1 2  AD  ，

AC   =λ AE  +μ AF

=  1 2 λ+μ  AB  + λ+ 1 2 μ  AD  ，

于是有   1 2 λ+μ=1，λ+ 1 2 μ=1，

解得 λ= 2 3 ，μ= 2 3 ，

所以 λ+μ= 4 3 .

解法2 坐標法+特殊值法

不妨设ABCD是边长为2的正方形，如图4建立坐标系xOy，得

A（0，0），B（2，0），C（2，2），E（1，2），F（2，1），

所以  AC  =（2，2）， AE  =（1，2）， AF  =（2，1）.

设 AC  =λ AE  +μ AF  ，

于是  λ+2μ=2，2λ+μ=2，

解得 λ= 2 3 ，μ= 2 3 ，

所以 λ+μ= 4 3 .

2 再识方法

利用上面这种做法解题具有一定的局限性：如果题目里面规定了边的长度，以及边的夹角，就不能随心所欲地取特殊图形，需要根据题目条件来相应做题，下面再来看几道例题，用坐标法如何解决.

例3   已知菱形ABCD的边长为2，∠A=120 ° ，E是BC边上靠近B的三等分点，用 AC  和 BD  来表示 AE  为 .

解  可以建立如图5所示的直角坐标系，其中，利用几何的关系可以求得

E  8 3 ，  3  3  .

同样地，可得

AC  =（1， 3 ），

BD  =（-3， 3 ）， AE  =  5 3 ，  3  3  .

设  AE  =λ AC  +μ BD  ，

于是  λ-3μ= 5 3 ， 3 λ+ 3 μ=  3  3 ，

解得 λ= 2 3 ，μ=- 1 3 ，

所以  AE  = 2 3  AC  - 1 3  BD  .

例4   在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，延长BE交AC于P，用 AC  和 AB  来表示 BP  为 .

分析  这道题目中，点P的位置无法确    图6 定，如果要用传统方法做，需要利用B，E，P三点共线来解决，而且其中的数量关系不好确定，不妨用坐标法来解决看看：

把△ABC看作等腰直角三角形，建立如图6所示的直角坐标系，

设直角边长为2，

易得 B（2，0），E  1 2 ， 1 2  ，

k  BE = 0- 1 2  2- 1 2  =- 1 3 ，

l  BE ：y=- 1 3 （x-2），

令x=0，得 y= 2 3 ，

所以 P 0， 2 3  ，

即 P是AC上的三等分点，

于是  BP  = -2， 2 3  ，

AB  =（2，0）， AC  =（0，2），

设 BP  =λ AB  +μ AC  ，

于是  2λ=-2，2μ= 2 3 ，

解得 λ=-1，μ= 1 3 ，

所以  BP  = AB  + 1 3  AC  .