识得庐山真面目，活用“五招”巧解题

余会昌

【摘 要】  同角三角函数的基本关系式在三角函数求值、化简与证明中应用广泛，且问题解决又没有固定套路，于是，面对不能套用公式的问题往往无从下手.但我们可在识得公式真面目上，根据问题特征，活用“从繁到简、等价转换、左右归一、切弦互化、1的应用”这五招来巧解问题.

【关键词】  同角;正余弦;平方和;等价转换

同角三角函数的基本关系式主要指

sin 2 α+ cos  2α=1， tan α=  sin α  cos α .

公式的真面目是：第一个等式左边是正弦、余弦的平方和，右边是常数1，从公式右边往左看，这公式具有把常数1化为三角函数的功能.第二个公式，左边是正切，右边是正弦与余弦的比，这公式巧妙地把正弦、余弦与正切联系起来了，从左往右能切化弦，从右往左则能弦化切.

例1   已知 tan α=2，求 sin 2 α+2 sin α cos α的值.

解   sin 2 α+2 sin α cos α=  sin 2 α+2 sin α cos α  sin 2 α+ cos  2α

=  tan  2α+2 tan α  tan  2α+1 = 8 5 .

注  若用已知结合 sin 2 α+ cos  2α=1，分别求出 sin α和 cos α值，再求 sin 2 α+2 sin α cos α的值，比较麻烦.在这情况下，把 sin 2 α+2 sin α cos α的分母看成“1”，并以“ sin  2α+ cos  2α”来替代得  sin  2α+2 sin α cos α  sin 2 α+ cos  2α ，此式分子分母都除以 cos  2α，则所求式全化为已知，从而问题得解答.这招叫“1的应用”.解这类题的关键在于分子、分母是同次式，则可把式子化为关于正切的式子.

例2   若△ABC的内角A满足 sin A cos A= 1 3 ，求 sin A+ cos A和 tan A的值.

解  因為 A是三角形内角，

且  sin A cos A= 1 3 ，

所以 角A必为锐角，

于是  sin A+ cos A = （ sin A+ cos A） 2

= 1+2× 1 3  =  15  3 .

易知 sin A与 cos A为方程x 2-  15  3 x+ 1 3 =0的两个根，

解得 x 1=  15 + 3  6 ，x 2=  15 - 3  6 ，

所以  tan A=   15 + 3  6    15 - 3  6  = 3+ 5  2 ，

或  tan A=   15 - 3  6    15 + 3  6  = 3- 5  2 .

注  若用常规方法，从 sin A cos A= 1 3 求出一个，代入 sin 2 A+ cos  2A=1，求出另一个，从而求出 sin A+ cos A，这样做，显然运算较麻烦.但我们巧用“1的应用”，也显然使问题得到较快捷的解答.在求 tan A时，用了韦达定理，这种方法在解这类同角关系式应用题中，是常用的方法.

例3   在△ABC中， sin A+ cos A=  2  2 ，求 tan A的值.

解  因为  sin A+ cos A=  2  2 ， ①

两边平方，得 2 sin A cos A=- 1 2 ，

从而知  cos A<0，

所以 ∠A∈  π 2 ，π .

所以  sin A- cos A

= （ sin A+ cos A） 2-4 sin A cos A

=  1 2 +1 =  6  2 . ②

由①②，得  sin A=  6 + 2  4 ， cos A= - 6 + 2  4 ，

所以  tan A=  sin A  cos A =-2- 3 .

注  若根据同角关系，用常规的方法，由已知的 sin A+ cos A=  2  2 ，求出 sin A代入 sin 2 A+ cos  2A=1，分別求出 sin A和 cos A再求 tan A，那问题的求解显然很麻烦.这里，巧用“1的应用”，对 sin A+ cos A=  2  2 两边平方，再求 sin A+ cos A的值，建立以 sin A和 cos A为变量的方程组，求出 sin A和 cos A，最终求得 tan A.当然，解答中，要注意三角形内角的隐含条件.

例4   若角θ满足 cos  2θ+ cos θ=1，则 sin  2θ+ sin 4 θ= .

解  由已知得 cos  2θ+ cos θ= sin 2 θ+ cos  2θ，

所以  sin 2 θ= cos θ，

于是  sin 2 θ+ sin 4 θ= cos θ+ cos  2θ=1.

注  解题中，把已知条件右边的“1”，用 sin 2 θ+ cos  2θ来表示，使问题得到解决.这就是“1的应用”.

例5   化简： 2 cos  2α-1 1-2 sin  2α .

解    2 cos  2α-1 1-2 sin 2 α

= 2 cos  2α-（ sin  2α+ cos  2α）  sin 2 α+ cos  2α-2 sin 2 α =1.

注  本题求解得益于“1的应用”，即把分子、分母中的“1”，转换成 sin  2α+ cos  2α，从而求得问题的解.

例6   求证：  cos α 1- sin α = 1+ sin α  cos α .

解  要证   cos α 1- sin α = 1+ sin α  cos α ，

即要证  cos  2α=（1+ sin α）（1- sin α），

也即要证： cos  2α=1- sin 2 α，而这式是成立的.

注  本题是道经典题目，等式两边结构均等，证法很多，文中这招叫“等价转换”.

例7   求证：

1+ sin α+ cos α+2 sin α cos α 1+ sin α+ cos α = sin α+ cos α.

证明  左边

=  sin 2 α+ cos  2α+ sin α+ cos α+2 sin α cos α 1+ sin α+ cos α

= （ sin α+ cos α） 2+ sin α+ cos α 1+ sin α+ cos α

= （ sin α+ cos α）（1+ sin α+ cos α） 1+ sin α+ cos α

= sin α+ cos α=右边，

所以，等式成立.

注  这个等式左边较右边“繁”，证明时，从左边入手进行运算，这招叫“从繁到简”.

例8    1-2 sin α cos α  cos  2α- sin 2 α = 1- tan α 1+ tan α .

证法1   左邊=  sin 2 α+ cos  2α-2 sin α cos α  cos  2α- sin 2 α

= （ sin α- cos α） 2 （ cos α+ sin α）（ cos α- sin α）

=  cos α- sin α  cos α+ sin α = 1- tan α 1+ tan α =右边，

所以，等式成立.

证法2   左边=  sin 2 α-2 sin α cos α+ cos  2α  cos  2α- sin 2 α

= （ cos α- sin α） 2 （ cos α+ sin α）（ cos α- sin α） =  cos α- sin α  cos α+ sin α ，

右边= 1-  sin α  cos α  1+  sin α  cos α  =  cos α- sin α  cos α+ sin α ，

左边=右边，

所以，等式成立.

注  等式左边为正、余弦，右边为正切，证法1采用了“弦化切”.证法2用“切化弦”.所以，在解决问题时，可进行“切弦互化”.当然，本题证明中，也用到了“1的应用”.在证法2中，分别算算左右两边，得到相同的值，这招叫“左右归一”.在一道题的求解中，往往“五招”当中多招并用.

例9   证明：（ sin α+ cos α） 2=1+ 2 sin 2 α  tan α .

证明  左边=1+2 sin α cos α.

右边=1+ 2 sin 2 α   sin α  cos α  =1+2 sin α cos α，

左边=右边，

所以，等式成立.

注  左边展开后，用 sin 2 α+ cos  2α=1，右边切化弦后即可，最后得到左边=右边.证明中，用到“1的应用”与“左右归一”两招.当然，从上面证明知可从右边进行运算，也容易得到左边.