多面体中截面问题的探究

郑灿基

【摘 要】  多面体的截面问题是立体几何中常见的问题之一，近些年来全国卷高考题或各地的模拟试题对多面体的截面问题的考查时有涉及.由于教材对截面问题的介绍不多，学生对截面问题的接触和训练较少，往往对这类问题的处理不知所措.本文主要通过创设问题，说明常见的多面体截面的作图类型的作图技巧，在此基础上通过具体实例诠释多面体中截面问题常见的命题视角.

【关键词】  作图类型;方法技巧;命题视角

1 常见的多面体截面的作图类型

（1）过定点求作一平面平行于另一平面

例1   已知平面α过正方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1的顶点A，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB 1A 1=n，求作平面α.

分析  要作出过顶点A的平面α，至少需要过A作两条相交直线.

因为 平面α∥平面CB 1D 1，

所以作出的这两条直线都会平行于平面CB 1D 1.

如图1所示，过A作直线AM∥BD，交CD的延长线为于M，

则 AM∥B 1D 1.

过A作直线AN∥A 1B，交B 1A 1的延长线为于N，

则 AN∥CD 1.

易证 平面AMN∥平面B 1D 1C，

即 平面AMN为所求的平面α.

总结  过定点A求作平面α平行于平面β，一般需要过A作两条相交直线，所作的两条直线必须平行于平面β.我们常常需挖掘图形特征，充分利用条件，过A作两条相交直线分别平行平面β，则可以构造出平面α.

（2）过定点作平面垂直于另一平面 （或直线）

例2   已知平面α过正方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1的顶点B，D，且平面α⊥平面BC 1D，平面α∩平面ABB 1A 1=m，求作平面α.

分析  若能在平面α内作直线垂直平面BDC 1，

根据面面垂直的判定定理则有平面α⊥平面BDC 1.

由于 BD⊥AC，

BD⊥AA 1，AC∩AA 1=A，

所以 BD⊥平面CAA 1C 1，BD⊥A 1C.

同理 DC 1⊥A 1C.

而 DC 1∩BD=D，

所以 A 1C⊥平面BDC 1.

因此，只要能在平面α內作直线平行A 1C即可实现平面α⊥平面BDC 1.

在△AA 1C中，分别取BD和AA 1的中点为O和E，连接OE，

则 OE∥A 1C，

不难得到平面BDE即为所求的平面α.

总结  在几何体中过定点作平面α垂直于平面β，常常需要充分利用已知条件，寻找直线l垂直于平面β，围绕给出的定点构造直线l′∥l，则由l′和给出的定点往往可确定平面α，进而求出平面α与几何体所截的平面.

（3）作过多面体上已知三点的截面

以上讲的是一些特殊要求的截面作图，实际上许多截面的作法在于转化成不在一直线上三点作图作截面.

例3   已知平面α过正方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1的顶点D 1、棱AB的中点E和棱BC的中点F，求作平面α截该正方体所得的截面.

分析  易知平面α即为平面D 1EF.

延长线段FE和DA交于点M.

因为 直线M∈直线EF，EF平面α，

所以 M∈平面α.

因为 M∈直线AD，AD平面ADD 1A 1，

所以 M∈平面ADD 1A 1.

因为 D 1∈平面α，

在平面ADD 1A 1中，连接MD 1，交AA 1于点P，

所以 点P∈平面α.

连接PE.

设正方体的棱长为1，

则 △AEM为等腰直角三角形，

AM=AE= 1 2 .

因为 AP∥DD 1，

所以  MA MD = PA DD 1 ，PA= 1 3 .

同理，在CC 1上确定点Q，使CQ= 1 3 .

连接D 1Q，QF，

则平面D 1PEFQ即为平面α截该正方体所得的截面，如图3所示.

总结  过不在一条直线上的三点作一个平面，首先是要找到截面与多面体各面的交线，若已知截面和多面体的某个面有一个交点，那么它们必相交于过这个交点的交线.为了得到这条交线，必须设法找出另一个交点，而这个交点往往在相邻的两面的公共棱上，可以求得这条交线，类似地，再确定出截面多边形的其余各顶点.可以看出，作图的关键在于寻找截面多边形的顶点，即截面与多面体各棱的交点.

（4）过多面体的某些点作与已知平面 （或直线） 成一定倾斜角的截面

例4   平面α过棱长为1的正方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1的棱AB，BC的中点E，F，且与底面ABCD所成角为45 ° ，求作截面α.

分析  连接EF.

由题意知 EF是截面α与底面ABCD的交线.

又 BD⊥EF，BB 1⊥EF，

BB 1∩BD=B，

所以 EF⊥平面BDD 1B 1.

设BD∩EF=G，则

BG= 1 4 BD=  2  4 <1，

DG= 3 4 BD= 3 2  4 >1.

①在平面BDD 1B 1内，过G作∠HGB=45 ° ，交BB 1于H.

因为 EF⊥平面BDD 1B 1，HG平面BDD 1B 1，

所以 HG⊥EF.

根据二面角的定义，如图4所示，∠HGB即为截面α与底面ABCD所成二面角的平面角.

连接HE和HF，得

截面α为HEF，形状为三角形.

②在平面BDD 1B 1内，过G作∠DGS=45 ° ，交直线DD 1于S.

因为 DG= 3 2  4 >DD 1，

所以 S在线段DD 1的延长线上，如图5所示.

因为 EF⊥平面BDD 1B 1，

GS平面BDD 1B 1，

所以 GS⊥EF.

根据二面角的定义，∠DGS就是截面α与底面ABCD所成二面角的平面角.

延长EF，分别交DA和DC的延长线于P，Q.连接PS，SQ，PS分别交AA 1和A 1D 1于M，N，SQ分別交D 1C 1和C 1C于K，T，

连接ME，FT，TK，KN，得

截面α为EFTKNM，形状为六边形.

总结  过多面体的已知平面β内的点E，F作与平面β成一定倾斜角θ的平面α与多面的截面，首先应通过EF寻求与直线EF垂直的平面γ，然后在平面γ中求作与EF成倾斜角θ的直线l，由直线EF和l所确定的平面即为平面α.其次是考虑平面α截多面体所得的截面.如例4中，BG= 1 4 BD=  2  4 <1，DG= 3 4 BD= 3 2  4 >1.在情形①中，BG=  2  4 DD 1，故过G作与BD成45 ° 的直线GS与棱DD 1的交点在棱DD 1的延长线上，需利用上面作过多面体上已知三点的截面的方法技巧求作截面.

2 多面体截面问题常见的命题视角

（1）判断截面的形状

例5   如图6，    图6 正方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC 1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是  （写出所有正确命题的编号） .

①当0

②当CQ= 1 2 时，S为等腰梯形.

③当CQ= 3 4 时，S与C 1D 1的交点R满足C 1R= 1 3 .

④当 3 4 

⑤当CQ=1时，S为菱形.

解  利用作过多面体上已知三点的截面的方法技巧进行解题.

连接AP和PQ，设PA的延长线与DC的延长线相交于M，并连接MQ，

易知 DC=CM.

当0

截面S为四边形APQT，如图7所示.

当CQ= 1 2 时，延长MQ，与棱DD 1相交的交点恰为D 1，连接AD 1，则截面S为四边形APQD 1，

易知 PQ∥AD 1，PQ= 1 2 AD 1，AP=DQ，

所以 四边形APQD 1为等腰梯形.

当CQ= 3 4 时，延长MQ，与棱D 1C 1相交于R，连接AD 1，D 1Q.

易得  C 1Q QC = C 1R CM = C 1R CD = C 1R C 1D 1 = 1 3 ，

即 C 1R= 1 3 C 1D 1= 1 3 .

当 3 4 

当CQ=1时，此时Q与C 1重合，交DD 1的延长线于T，连接AT，AT交A 1D 1于E，连接AE，ER.得截面S为四边形APC 1E，形状为菱形，如图9所示.

综上知，填①②③⑤.

（2）计算截面的周长或面积

例6   棱长为2的正方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1中，P是BC的中点，过B 1且与平面A 1DP    图10 平行的正方体截面的周长为 .

解  如图10，分别取A 1D 1和DD 1的中点为M，N，连接B 1M，B 1N.取AD的中点为E，连接BE，

易得 MB 1∥EB∥DP，MN∥A 1D，

进而有 平面B 1MN∥平面A 1DB.

下面研究平面B 1MN与正方体的截面.

延长B 1M，交C 1D 1于S，连接SN.

因为 SD 1∥DC，

N是D 1D的中点，

所以 SN=NC.

即 SN的延长线与CC 1交于C点.

所以 平面B 1MN与正方体的截面为四边形MNCB 1.

因为 MN= 2 ，CB 1=2 2 ，

MB 1= 5 ，CM= 5 ，

所以截面四边形MNCB 1的周长为2 5 +3 2 .

（3）与截面图形有关的最值 （涉及长度和面积）

例7   已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

（ A ） 3 3  4 . （ B ） 2 3  3 . （ C ） 3 2  4 . （ D ）  3  2 .

解  因为正方体得12条棱可以分成3组互相平行的棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可.

如图11所示，如过D点的棱DA，DC，DD 1与平面α所成的角都相等.容易看出，平面AD 1C与平面A 1BC 1都满足题意，平面α应保持与AD 1C （或平面A 1BC 1） 平行，且夹在平面AD 1C与平面A 1BC 1之间.

利用正方体的对称性，当平面α经过正方体中心O时截面面积最大，此时截面是由棱D 1A 1，A 1A，AB，BC，CC 1，C 1D 1的中点连接而成的正六边形，其边长为  2  2 ，面积为

6×  3  4 ×   2  2   2= 3 3  4 .

故選（ A ）.

多面体截面的作图是判断截面图形的形状、正确计算多面体的截面周长和面积，求截面图形的性质和最值的前提.通过截面作图，可以进一步理解和巩固直线和平面位置关系的概念、定理和公理，更有效地培养和发展学生的空间想象能力.教师在教学备考中应重视引导学生独立分析，让学生观察动手，亲自体验，同时要引导学生注重总结，积累多面体截面的常见类型的作图经验，从而培养良好的作图能力.