从解答习题到解决问题

刘族刚 葛红艳

【摘 要】  本文以高中数学人教版教材（新课程）必修第一册中的一道习题为载体，找出习题背后的问题的实质，并采用多种方法对其进行求解，试图从“通法”到“通性”，从“特殊”到“一般”，从“解答习题”到“解决问题”.

【关键词】  教材习题;解决问题;多解;拓广

波利亚说“不能把获取答案作为解题的单一目标，更不能看成是相应解题活动的终结，一定要形成一种习惯或意识，虽然习题得到了解决，还要继续向前，必然会有新的发现”.本文从一道教材习题出发，先给出其方法、答案，然后理清其问题本质，并用六种不同方法加以求解，然后继续向前，试图从“通法”到“通性”，从“特殊”到“一般”，从“解答习题”到“解决问题”，为学生掌握必备知识，发展关键能力提供有益尝试.

习题再现  比较下列各题中三个值的大小：

（1） log   0.2 6， log   0.3 6， log   0.4 6;

（2） log  23， log  34， log  45.

解  （1）在同一坐标系中，利用函数y= log   0.2 x，y= log   0.3 x及y= log   0.4 x的图象易得 log   0.2 6> log   0.3 6> log   0.4 6，过程略.

（2） log  23- log  34=  ln 3  ln 2 -  ln 4  ln 3 =  ln 2 3- ln 4· ln 2  ln 2· ln 3 ，

因为  ln 4· ln 2 <   ln 4+ ln 2 2   2=   ln 8 2   2

<   ln9  2   2= ln  23，

所以   ln 2 3- ln 4· ln 2  ln 2· ln 3 >0，

即  log  23> log  34，  ①

同理  log  34> log  45，  ②

由①②得  log  23> log  34> log  45.

注  本题结构简单，信息量小，但解题方法上有点“非主流”——不走“初等函数单调性”、“中介值”等寻常路，除了基本的“差比较法”外还用到了“基本不等式”和“放缩法”等，不仅方法上出乎学生意料，而且有较强综合性，是一道实实在在的难题.

整體观察 log  23， log  34， log  45这三个数的结构，不难发现“3=2+1，4=3+1，5=4+1”，即每个对数的真数都比底数大1，透过现象看“同构式” （结构、形式相同，只有变量不同） 本质，就可以发现“习题”背后的“问题”，实现做一题、会一类、通一片的目的.

拓广1   当n>1时，比较 log  n（n+1）与 log   （n+1） （n+2）的大小.

下面用多种方法解决：

解析1 差比较法

因为  ln n· ln （n+2）

<   ln n+ ln （n+2） 2   2=   ln （n 2+2n） 2   2

<   ln （n+1） 2 2   2= ln  2（n+1），

所以  log  n（n+1）- log   （n+1） （n+2）

=  ln （n+1）  ln n -  ln （n+2）  ln （n+1）

=  ln 2 （n+1）- ln n· ln （n+2）  ln n· ln （n+2） >0，

故  log  n（n+1）> log   （n+1） （n+2）.

注  “差比較法”是比较大小或证明不等式中最基础、最常见和最重要的方法，本题中，“换底公式”是差比较法的起点与基础，利用“基本不等式”是确定符号的关键.

解析2 商比较法

显然 log  n（n+1）与 log   （n+1） （n+2）都是正数，

因为   log   （n+1） （n+2）  log  n（n+1）

= log   （n+1） （n+2）· log   （n+1） n

<   log   （n+1） （n+2）+ log   （n+1） n 2   2

=   log   （n+1） （n+2）n 2   2

<   log   （n+1） （n+1） 2 2   2=1，

所以  log  n（n+1）> log   （n+1） （n+2）.

注  “商比较法”的依据是“若 A B >1，B>0，则A>B”，本题求解过程中还利用“基本不等式”以及“放缩法”，有较强的综合性与技巧性.

解析3 分析法

要比较 log  n（n+1）与 log   （n+1） （n+2）的大小，

只需要比较 log  n（n+1）-1与 log   （n+1） （n+2）-1的大小，

即比较 log  n n+1 n 与 log   （n+1）  n+2 n+1 的大小，

注意到 n+1 n =1+ 1 n > n+2 n+1 =1+ 1 n+1 ，

利用对数函数图象与单调性易知

log  n n+1 n > log   （n+1）  n+1 n > log   （n+1）  n+2 n+1 ，

所以  log  n（n+1）> log   （n+1） （n+2）.

注  “函数”、“方程”、“不等式”紧密相连，问题解决时，要让“化归与转化”成为习惯，要让“数形结合”成为本能.

解析4 综合法

易知a>b>0，m>0时，

b a < b+m a+m  （浓度不等式） ，

则a>b>0，m>0时， a b > a+m b+m ，

则  log  n（n+1）=  ln （n+1）  ln n

>  ln （n+1）+ ln  n+1 n   ln n+ ln  n+1 n  =  ln  （n+1） 2 n   ln （n+1）

>  ln （n+2）  ln （n+1） = log   （n+1） （n+2）.

注  教材是基礎知识、基本方法的根，是考试命题的源，是培养学生核心素养的主要载体，关注教材例题习题，熟记“浓度不等式”等“二级结论”，往往能起到“以题解题、借力打力”的作用.

解析5 指对互化

设 log  n（n+1）=x， log   （n+1） （n+2）=y，

显然 x>1，y>1，

则 n x=n+1，（n+1） y=n+2，

从而 1+n x=n+2=（1+n） y>1+n y，

则 n x>n y，

又因为 n>1，

所以 x>y，

即  log  n（n+1）> log   （n+1） （n+2）.

注  指对互化是“化归转化”数学思想“化生为熟”的具体体现.

解法6 导数法

对比后发现这两个式子为“同构式”.

若设f（x）= log  x（x+1），x∈（1，+∞），

即比较f（n），f（n+1）大小，也就是只需研究f（x）的单调性即可.

由f（x）= log  x（x+1）=  ln （x+1）  ln x ，x∈（1，+∞），

可得f′（x）=   ln x x+1 -  ln （x+1） x   ln 2 x ，x∈（1，+∞）.

因为 x>1，

所以  1 x > 1 x+1 >0， ln （x+1）> ln x>0，

所以   ln （x+1） x >  ln x x+1 ，

则 f′（x）=   ln x x+1 -  ln （x+1） x   ln 2 x <0，

即 f（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以 f（n）>f（n+1），

即  log  n（n+1）> log   （n+1） （n+2）.

拓广2   设a>b>1，t>0，则

log  a（a+t）< log  b（b+t）.

注  推证方法为“导数法”，即上面解法6，过程略.

深解习题三百道，不会解题也会解.在“双减”深得民心和“学科核心素养”培养已成普遍共识的当下，作为教师，只有有效开发和利用教材资源，认真思考例题、习题的编排意图，深刻领悟习题背后的问题本质，并力求多解多变，才能让“双减”政策落地生根，才能真正的从“解答习题”走向“解决问题”.