从一道联考题谈不等式恒成立问题的解题策略

摘 要：文章对2021年11月份山西省三重教育大联考导数题予以研究，从六个角度探析含参不等式恒成立求参数范围问题，给出九种解法，并归纳整理出求该类问题的解题策略.

关键词：不等式恒成立;解题策略;一题多解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0029-04

纵观近些年的高考和各级各类模拟考，不等式恒成立求参数范围问题越来越受命题者的青睐，已成为常考常新的问题，因此该类问题是高考备考的一大重点.从内容来看，该类试题的交汇面广，综合考查函数、导数、不等式等方面的知识;从考查能力角度来看，该类试题不仅可以很好地考查考生的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），还能考查考生的关键能力和数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析、直观想象、数学运算），是展示考生能力的一个很好的平台.但是从实际的教师教学和学生掌握情况來看，该类问题又是复习备考的一大难点.如何有效突破这一重点、难点，成为广大一线教师在复习备考中亟待解决的一大课题，现笔者结合自身教学实践与研究，以2021年山西省三重教育11月高三大联考导数题为例，阐述如何突破该类问题的解题策略.

分析 该题是2021年山西省三重教育11月大联考理科第20题，第（1）问属于常规问题，本文不再赘述，重点论述第（2）问，此问是含有参数的不等式恒成立问题，本小题综合性强、解法灵活、难度较大，主要考查了利用导数研究函数的单调性，含参不等式恒成立求参数范围等知识，考查了学生分析问题、解决问题的能力及转化与化归等数学思想，体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养.本文尝试对本题的第（2）问从不同的角度予以思考，给出不同的解法.

2 解法探究

2.1 转化为函数最值法

对于一些含参不等式恒成立问题，将不等式朝着有利于通过导数判断单调性的方向变形，将不等式整理为一侧为常数（一般为零）的形式，根据题目的量词（或），将问题转化为函数最值与常数（一般为零）的不等关系，这是处理不等式问题最基本的通法之一.

2.2“切线”放缩法

一些含参不等式中，将指数函数、对数函数综合考查，尤其是与ex，lnx有关的超越函数问题，若直接求导找零点（多数情况下是隐零点），往往复杂繁琐，此时若能巧妙运用一些“切线不等式”进行放缩，将复杂的超越函数转化为简单函数（以直代曲），常常可以起到化繁为简的效果.牢记两个重要的“切线不等式”：①ex≥x+1（x∈R，当且仅当x=0时等号成立）;②lnx≤x-1（x∈R，当且仅当x=1时等号成立），这两个不等式是“切线放缩”法的基础.

2.3 “同构”法

有些题中的不等式经适当整理变形后，可以表示成两侧结构相同的形式，如F（x）≥0等价变形为f（g（x））≥f（h（x）），利用这个结构式构造对应函数f（x），进而利用所构造函数f（x）的性质（单调性、奇偶性、对称性等）解题的方法，我们通常叫做同构法.常见的同构形式有：xex=elnx+x，exx=ex-lnx，xex=elnx-x，x+lnx=ln（xex），x-lnx=ln（exx）等.

2.4 必要性“探路”法

对一类函数不等式恒成立问题，可以通过取函数定义域中某个数，缩小参数的讨论范围，获得初步的参数范围，之后在此范围内继续讨论进而解决问题.在这个定义中，“取函数定义域中某一个数”，便相当于寻找一个能使题意成立的必要条件，而题目本身要寻求的参数的取值范围（或最值），相当于是使题意成立的充分必要条件.因此，在找到必要条件的基础上，只需要证明这个条件反过来能推出题意，即证明这个条件也是满足题意的充分条件.这样，充分性和必要性都成立，那么所求出的范围必然是题目所寻求的参数的准确取值范围，这便是必要性“探路”法.

2.6 反函数法

若函数m（x）与函数n（x）互为反函数，则两函数图象关于直线y=x对称，于是我们不难明白不等式m（x）≥n（x）等价于m（x）≥x（或x≥n（x））.我们又知道同底的对数函数与指数函数互为反函数，所以在解决一些同时含有指数和对数的不等式问题时，若我们能将不等式变形为m（x）≥n（x）的形式，则可以借助m（x）≥x（或x≥n（x））解题，减少运算，化繁为简.

参考文献：

[1] 杨瑞强.指对跨阶“同构法”求解不等式恒成立题[J].数理化解题研究，2021（34）：74-75.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：俞国梁（1982-），男，江西省婺源人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.