从“充分与必要”视角辨析一题解法的是与非

摘 要：从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视，认识要深刻，理解要到位，要发现规律、揭示本质，才能真正掌握数学知识，提高数学解题能力，提升数学学科核心素养.

关键词：充分与必要;解题反思;正误辨析

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0005-03

“问题是数学的心脏”，找到答案只是数学解题的前一半，更重要的是解题后的反思.“不思故无惑，不惑故无问，不问故无得.”为什么是正确的，为什么是错误的，错在哪里呢？对这些“为什么”的追问一定可以大大提升学生的分析问题、解决问题的能力.反思才能悟出其中的方法、思想;反思才能悟出问题的真本质、真规律、真道理.

以下从充分与必要视角对一道题目的多种解法进行正误辨析，以示解题中要对充分与必要条件加以高度重视，理清思路，认识到位，理解深刻，要发现规律、揭示本质，才能真正掌握知识，提高解题能力，提升数学素养.

题目 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若b2=ac，求cosB的取值范围.

解法1 cosB=a2+c2-b22ac≥2ac-b22ac=2ac-ac2ac=12，当且仅当a=c时取“=”.

又在锐角△ABC中，0

所以cosB的取值范围为[12，1）.

辨析 以上解法对吗？为什么？锐角△ABC与0

辨析 很多人认为以上解法是正确的，但事实上是错误的.这又是为什么？细想b2=ac这个条件用到位了吗？没有用到位，没有用充分！由b2=ac可知b不是最长边也不是最小边，不妨设a≤b≤c，则A≤B≤C.但A≤B≤C推不出b2=ac啊，b2=ac内在的本质关系未充分利用，原来也是条件不等价变形造成的错误！利用已知条件的必要条件A≤B≤C来解答就得出问题的解，这与解法1类似，往往会扩大所求的取值范围.

辨析 cosB的最大范围为[-1，1]，所以cosB范围不可能在[12，+@），不是都利用了b2=ac的准确数量关系了吗？不是也关注了条件的转化要等价吗？又错在哪里？不断追问，问个水落石出！原来a≤b≤c这个条件还没用到位，由a≤b≤c应有ca≥1，所以解法3中应得1≤m<1+52，故有以下解法4.

辨析 以上解法4正确吗？“水本无华，相荡乃成涟漪;石本无火，相击而发灵光.”经过广泛讨论，积极思考后又有人认为不对，理由是因为首先要构成三角形，从而应在解法4的条件基础上还应满足条件a+b>c，故有以下解法5.

这样往后可解得与解法4一样的最后答案.

辨析 解法4与解法5的最后答案是一样的，这是偶然？这是必然？要想找出内在本质规律，要想打破砂锅问到底，此问题还应从以下命题说起.

经常这样进行数学问题辨析，错中求正，败中求胜，数学问题将越辨越清，认识将越来越深刻.数学学习若不能揭示问题的本质，则对知识方法的认识依然“云里雾里”，不能从错误的阴影中真正走出来，不能从正确中掌握规律，这是数学学习的大忌.以上辨析说明，对充要条件是否准确应用直接关系到解题的成败，许多时候解题都是因为充要关系没用对而致错，对充要条件的应用要特别注意，已知条件的相互转化要注意充要性，一定要利用已知条件或与已知等价的条件来解题，这是本质，也是关键.

参考文献：

[1]花奎.不同教学观的两则教学案例及思考[J].数学通报，2013，52（06）：27-29 +36.

[2] 兰诗全.求解“范围”问题中的充分与必要[J].数学通讯（教师），2013（18）：28-29.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：兰诗全（1968-），男，福建省古田人，中学高级教师，从事数学教学研究.