研磨习题载体 变式引领复习

2022-05-30 15:24徐凯钰王桢宇
数理化解题研究·高中版 2022年8期

徐凯钰 王桢宇

摘 要:本文通过求解一道模拟试题,梳理函数零点问题常见的处理步骤,并设计了变式训练,分别探讨找点方法、隐形零点问题、极值点偏移问题.

关键词:找点;隐形零点;极值点偏移

中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1008-0333(2022)22-0068-03

1 题目呈现与解析

例题 (2022年朝阳区高三第一学期期末试卷20题第(3)问)

设g(x)=aex-x2,当a∈(1,e)时,求函数g(x)的零点个数,并说明理由.

本题可以求导判断g(x)的单调性,进而通过零点存在定理判断零点个数,参考答案通过等价变换,转化为第(2)问的结论,不再赘述,但测试反馈发现,同学们大多没有注意到两问之间的联系,而是直接求导,致使运算难度增大,鉴于其更具有通法意义,本文采用该方法.

题目不难,解法也众多,不再赘述,试题解罢,笔者思考一个问题,为什么原题给出了a∈(1,e)这个条件,若扩大这个范围会对函数零点的求解带来什么样的影响呢?命题人在此為了回避哪些难点呢?为了寻找答案,故做如下探索.

2 试题变式

2.1 变式改编,找点升级

2.1.2 指对互换找点

如函数含有lnx,取点ea可得lnea=a,函数含有ex,则取点lna可得elna=a,因此指对互换找点可以化简表达式.比如本题含有aex项,想到对数形式,并且为了化简参数a,选取ln1a较为简洁,由于a>1,所以ln1a<0满足取值范围要求,代入尝试可得,

“极值点偏移”问题近年来在高考题、模拟题中频繁出现,2016年全国Ⅰ卷和2021年新课标Ⅰ卷都是以其作为压轴题考查.这类问题包含了转化与化归、函数与方程等数学思想,

常见解法是基于对称变换的思想,构造新函数讨论单调性求解.特别的,上文有这样一句话“t(2)=0,若能证明x∈(2,4)时t′(x)<0,则此题得证.”这个思维方式是不严谨的,因为此时t′(x)<0是t(x)<0的充分非必要条件,答题过程应该逆序书写,即求出t′(x)<0,说明函数单调递减,进而结合端点值说明t(x)<0.

参考文献:

[1]高存明.普通高中教科书数学选择性必修第三册(B版)[M].北京:人民教育出版社,2019.

[责任编辑:李 璟]

收稿日期:2022-05-05

作者简介:徐凯钰,男,在校学生.

王桢宇,男,中学高级教师,从事高中数学教学研究.