用高观点揭示一类导数压轴题的本质

摘 要：纵观条件中含有导函数与抽象函数的不等关系的题型，发现题设条件所给出的式子往往都是一阶线性微分方程的一部分，在高观点下，笔者揭示此类问题的本质，为解决此类问题提供参考.

关键词：高观点;构造法;导数压轴题;本质

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0033-03

1 问题的提出

例1 （2015年全国高考Ⅱ卷第12题）设函数f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）>0，则使得函数f（x）>0成立的x取值范围是（）.

上例中出现了“xf ′（x）-f（x）>0”的结构式，解决此类问题需要构造辅助函数.对于此类题目，有一些常见结构式的辅助函数构造方法：

在日常教学中，教师一般会要求学生熟记以上常见结构式的辅助函数，然后再加以训练来巩固记忆，然而，此类题目往往只有少数学生能够成功解决.问题的关键在于，如何去构造这样的辅助函数？构造方法是怎样的？有没有一般的步骤呢？

2 “辅助函数”的构造原理（基于不定积分原理）

此时函数g（x）的导函数中包含④式的左边部分y′+P（x）y-Q（x），而在高中相关类型导数题中往往给出了这部分与零之间的不等关系，从而可以判断出函数g（x）的单调性，进而结合函数知识求解.

此类结构的构造原理，基于不定积分的相关方法，读者可以深入了解，也可略过.

因此，g（x）在（0，+@）上单调递增，在（-@，0）上单调递减.要求函数f（x）>0成立的x取值范围，则xg（x）>0，易知x∈（-1，0）∪（1，+@），故选A.

下面对结构式为P（x）f（x）+f ′（x）类型的算法步骤进行总结：

（1）將题设条件中的结构式化归为P（x）f（x）+f ′（x），即让“f ′（x）”的系数变为1;

（2）找到P（x），并借助导数公式寻找其一个原函数φ（x）;

（3）构造辅助函数g（x）=eφ（x）·f（x）.

按照上述步骤，我们再来看一看常见结构的构造方法：

（1）若f（x）+xf ′（x）>0（或<0），则P（x）=1x，其一个原函数为y=lnx，因此可构造辅助函数g（x）=elnxf（x），即g（x）=xf（x）;

（2）若f（x）-xf ′（x）>0（或<0），则P（x）=

-1x，其一个原函数为y=-lnx，因此可构造辅助函数g（x）=e-lnxf（x），即g（x）=f（x）x;

（3）若nf（x）+xf ′（x）>0（或<0），则P（x）=nx，其一个原函数为y=nlnx，因此可构造辅助函数g（x）=enlnxf（x），即g（x）=xnf（x）;

（4）若nf（x）-xf ′（x）>0（或<0），则P（x）=-nx，其一个原函数为y=-nlnx，因此可构造辅助函数g（x）=e-nlnxf（x），即g（x）=f（x）xn;

（5）若f（x）+f ′（x）>0（或<0），则P（x）=1，其一个原函数为y=x，因此可构造辅助函数g（x）=exf（x）;

（6）若f（x）-f ′（x）>0（或<0），则P（x）=-1，其一个原函数为y=-x，因此可构造辅助函数

g（x）=e-xf（x），即g（x）=f（x）ex;

（7）若f（x）-tanxf ′（x）>0（或<0），则P（x）=-1tanx，即P（x）=-cosxsinx，其一个原函数为y=-ln（sinx），因此可构造辅助函数g（x）=e-ln（sinx）·f（x），即g（x）=f（x）sinx.

4 结构为f ′（x）+P（x）f（x）-Q（x）的类型

例2 （2009年天津文科高考题）设函数f（x）在R上的导函数为f ′（x），且2f（x）+xf ′（x）>x2，下面的不等式在R上恒成立的是（）.

此类问题一般出现在选择题或填空题的压轴题位置，难度较高，其难点在于构造出“辅助函数”.经过本文的探究，找到了构造相应“辅助函数”的一般步骤，将难点转化为“逆用导数求导公式，寻找导数的原函数”.

参考文献：

[1]何尚凯.浅谈一阶线性微分方程的解法[J].高考，2018（26）：203.

[2] 宿晶.构造函数在解决导数问题中的运用策略和技巧[J].数理化解题研究，2016（16）：15-17.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：范明辉，中学二级教师，从事高中数学教学研究.