构造法，数学解题的一把利刃

吴琪

摘 要：课程标准指出：数学课堂要摒弃机械训练、方法陈旧的课堂模式，代之以思想开放、乐于探究的开放型课堂。要达到这一目标，我们就必须讲究解题方法，提高学生思维的活跃性。构造法是一种常见的数学模型，对学生的思维灵活要求较高，教师可以借此方法充分调动学生数学学习的内驱力，使其更主动地投入到数学学习中，尽情畅享数学知识的神奇与瑰丽。

关键词：高中数学 构造法 教学策略

著名数学家波利亚曾经说过：“数学解题的成功需要进行正确的思路选择，要从可以接近它的方向去攻击堡垒。”数学问题的解决不一定要采用常规思路，即仅根据已知条件并结合所学知识按部就班地探索答案。有些问题我们用常规思维模式是很难获得到正确答案的，因此，这就需要学生改变原有的思维方式，以新的角度来考虑问题，寻求破解问题的关键点。构造法就是这样的手段之一，它是一种极其重要的数学解题思想，应用十分广泛。我结合多年的高中数学教学经验，对如何在课堂授课以及习题训练中渗透构造法的使用条件及注意事项进行研究与探索，下面通过具体实例浅谈几点看法。

一、图形构造，判断个数

在高中数学学习中，几何部分是重点知识之一，其考查方式也多种多样，大部分学生对此都感到十分迷茫。在很多题型中，几何条件与证明结论之间的关系也较为隐蔽，学生仅通过题意一时间是很难发现关键点的。因此，学生应注意挖掘题目条件中隐含的几何含义，并以此为依据构造出适当的几何图形，使问题变得更加直观，取得事半功倍的解答效果。

几何部分知识的学习是枯燥无味的，尤其对于空间想象力不强的学生，当他们遇到分析图形个数问题时，总会晕头转向，不能准确抓住解题的关键，只会浪费时间，不利于考试发挥。教师要教会学生使用便捷的方法，加快解题速度。例如，很多学生都会遇到这样的题目：如图1所示的三棱锥P-ABC，在棱锥的三个侧面以及一个底面中，直角三角形的个数最多可能存在（ ）个。

这道题目虽然给出了一个三棱锥，但仍需我们展开想象，构造出一个符合题目要求的三棱锥。题干要求我们找出可能存在的直角三角形的个数，很明显，我们会联想到PA⊥底面△ABC，如果底面△ABC也是一个直角三角形，假设∠ABC是直角，那么我们很容易就能得出答案为4。

这道题运用了构造法求解题，使用构造法之前一定要对题干认真分析，根据已知条件构造出合适的图形，这才是解题的关键。在高考中有不少填空题或选择题都可以利用构造法快速解决，有些时候还需要构造出一些与题干相悖的图形，进而推翻选项达到快速解题的目的。教师要注意在平常训练中培养学生的解题技巧，多向学生渗透构造法在几何图形中的妙用。

二、函数构造，求证不等

高中函数的学习并不像初中函数那么简单，往往会出现一些较为复杂的证明题，以考查学生的理论推理能力。在求解某些函数问题时，使用直接方法往往并不能解决问题，因此，我们要利用所学知识和已知条件构造出一个新的函数，为解题提供帮助，使问题在新的观念下得以转化，接下来再利用函数的相关性质解决原问题，这是一种行之有效的解题策略。

众所周知，函数学习贯穿数学学习的始终，随着知识水平的提升，对学生的函数理解能力以及应用水平的要求都有所提高。证明类题目一直是高中数学的难点，很多学生都无法轻松突破，教师要及时帮助学生打破知识的桎梏，完成证明题目解决的逆袭。例如，我在习题训练中会给学生设置这样的题目：证明不等式 < （x≠0）。这道题如直接证明，则难度很大，我们要进行转换，题目等效于 -

<0。这样，我们就可以构造出一个函数f（x）= - （x≠0）。为了便于证明，我们可以求出f（-x），即f（-x）= + ，对此稍加化简就可以得出f（x）=f（-x）的结论，即f（x）在x≠0时是一个偶函数。又因为当x>0时，2x>1，即1-2x<0，所以f（x）= - <0，再根据偶函数的性质可知，当x<0时，也有f（x）<0。所以，当x≠0时，f（x）<0，即原不等式 < 得证。这道题目虽然属于不等式的知识范畴，但只利用不等式的相关知识并不能快速解题，我们需将题目转化后得到一个新的函数，在对函数进行分析并结合函数性质特点后，就能较轻松地解决问题了。

在构造函数过程中，最应该注意的就是要有意识、有目的地构造，切不可胡乱构造，否则对解题是毫无益处的，这样只会浪费时间，毫无成效。构造函数要注意目的性，构造完成后要明确如何利用相关性质进行解题，以加快解题速度，提升解题效率。

三、向量构造，数形转化

平面向量是学生进入高中后接触到的新知识，它也是高中数学的重要内容，在每年高考中都会有所体现。为了帮助学生取得佳绩，教师要帮助学生理解向量的真正含义。其实，向量的应用有很多，尤其在解决立体几何相关问题中，很多题目如直接利用传统方法是无法解决的，而利用向量法解题则会非常简单，这都体现了向量的重要性。

就向量本身的知识而言，它可以实现由数向形的转化，我们可以根据题意构造出对解题有利的平面向量模型，使问题得以简化，学生分析起来也会简单得多。证明题在高考中出现的频率越来越高，我以一道证明题为例，简要介绍向量构造法使用的妙处。求证：|a+b|-|a-b|≤2|b|。这道证明题形式虽然简单，但难度却很大，很多学生根本就不知道该如何下手。其实，这道题是需要构造向量的， =（a-b，0）， =（2b，0），则 + =（a+b，0），所以| |= =|a-b|，

| |= =2b，再根据| + |= =|a+b|。我们再结合向量的基础知识，| + |≤| |+| |，得出|a+b|≤|a-b|+|2b|，这样原式得证。

这道题同上一例题一样，都是一道不等式证明题，但解决方法却不一样。前一题采用了构造函数的方法，而这一道题则采用了构造向量的方式，虽然构造内容不同，但终究都是构造法，在构造过程中的注意事项是相同的，都需要结合不等式的结构来思考该向哪一个方向构造，两者构造后所起到的作用也是相同的，都能使题目简化，易于解决。通过这种方法解决不等式证明题，有利于开发学生的思维模式。

四、模型构造，解析定理

高中数学中涉及很多数学模型，它们都是通过理论推导而得出的正确结论。其中很多模型的证明都能应用到构造法，正是由于构造法的存在才使得模型得以应用，为数学学习提供了较大便利。

在高中数学学习中，大家最熟悉的模型就是判别式模型，在很多题目解答中都会运用到，这种方法不仅简单快捷，而且学生也易于接受，是一种大众化模型。例如，很多学生在学习过程中会遇到这样的证明题目：已知，a1、a2、b1、b2是非零实数，求证不等式：（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（a12+b12）（证明柯西不等式）。该不等式可以转化为（a1b1+a2b2）2-（a12+a22）（a12+b12）≤0。仔细观察式子，我们就可以发现，左边类似于判别式Δ=b2-4ac，基于这一发现，我们可以构造关于a的二次不等式（a1a+b1）2+（a2a+b2）2≥0恒成立，即（a12+a22）a2+2（a1b1+a2b2）a+b12+b22≥0恒成立，所以Δ≤0，即可以证明原不等式。柯西不等式是我们没有学过的知识，但却可以利用已学知识来进行证明。在解决证明类题目时，我们不能一眼就看出解题方法，解题方法是在变换中一点一点被挖掘出来的。一开始我们并不能联想到用判别式法来解题，但对不等式进行转化后，方法就自然而然地迸发出来了，这是一种解题经验。当然，构造法也在其中起到了关键性的作用，只有学生正确地构造出有利于解题的二次不等式，才会轻松地解题。

总之，利用构造法解题会起到意想不到的效果，会将原本复杂的题目变得简单，使疑难问题迎刃而解。利用构造法解题，需要学生开动大脑、开放思维，多角度多渠道地展开联想，只有想到相关知识，才能构造出合适的形式，为解题提供帮助，从而获得快捷有效的解题策略。构造法解题可以培养学生思维的灵活性，让学生从中感受到数学之美，体验到解题之趣。

参考文献：

[1]吴卫东.数学思维在“碰壁”中“自然生长”[J].中学数学，2015（21）.

[2]李太敏.数学选择题审题中的一些“热点关注”[J].数学教学通讯，2007（24）.

[3]邬仁勇，沈新权.居高声欲远，更需借秋[J].中学数学研究，2015（11）.