一道2021年“希望杯”竞赛题的解法探究

摘 要：文章对一道2021年“希望杯”的试题进行分析，并从不同的视角给出五种解法.

关键词：希望杯;竞赛;三角;复数

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0016-04

1 题目呈现

题目 △ABC是边长为2的等边三角形，顶点A在x轴的非负半轴上滑动，顶点B在y轴的非负半轴上滑动，求△ABC的重心G的轨迹方程.

这是2021年第三十一届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试第17题（压轴题），本题短小精悍、构思独特，综合考查考生逻辑思维、推理论证、运算、以及分析问题和解决问题等方面的能力，涉及的数学知识与蕴含的数学思想方法非常丰富，值得深入研究.

2 题目解析

评注 解法1利用等边三角形特殊的边角关系，巧妙地将点的坐标以角为参数来表示，再利用三角恒等变换及三角基本关系进行求解，难点是如何合理利用边角关系转化为点的坐标.

评注 解法2与解法3借助向量与复数的相关知识，利用旋转变换的思想进行解答，两种解法建立在同一个解题思路上，从不同的设点角度解决问题，解题方法新颖巧妙，过程简洁.所以在竞赛层面，要重视方法的积累和知识的储备，熟练掌握一些常用的方法与结论，才有可能缩短思维的长度，提高效率，达到事半功倍的效果.

解法4 如图2，设AB的中点为E，连接CE.

评注 解法5借助平面几何的性质进行解答，体现了数形结合的解题思想，运算量较少.解析几何问题的本质仍是几何问题，解题时若能充分把握解析几何的图形特征，挖掘图形相应的几何性质，将解析法与平面几何方法相结合，往往能简化运算，优化解题过程，起到四两拨千斤之功效.

以上的几种解法，从不同的角度出发思考问题，各显神通，这充分体现试题的不拘一格，一道试题考查多种能力、多种思想方法.学数学离不开解题，数学家波利亚曾说：“掌握数学就意味着善于解题.”同时要注意的是，数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是在解题中要善于观察、善于思考、善于转化，只有这样才能将零散的数学知识串联起来，运用自如.

参考文献：

[1]林国红.一道联赛题的解法赏析[J].數理天地（高中版），2020（11）：32-33.

[2] 林国红.一道2018年全国数学联赛题的解法探析与推广[J].理科考试研究，2020，27（03）：17-20.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：林国红（1977-），男，广东省佛山人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.