变中不变 美在其中

摘 要：圆锥曲线中的定点问题一直是高考中的热点、难点问题.考生因不理解它的美——扑朔迷离的变化中存在的不变性，以致无法解决解析几何问题.本文主要以2022年福建省省检试题——圆锥曲线中动圆过定点问题为例，对解题教学中如何有效解决问题进行详细阐述.

关键词：定点;几何条件;代数化;数学思想方法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0039-03

正因为圆锥曲线千变幻化，才能成就它的美，那美在哪里呢？美在扑朔迷离的变化中存在不变的性质，如定点、定值问题.

1 题目呈现

试题 （2022年福建省高三毕业班质检试题）已知椭圆C的中心为O，离心率为22.圆O在C的内部，半径为63.P，Q分别为C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为1-63.

（1）建立适当的坐标系，求C的方程;

（2）A，B是C上不同的两点，且直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上.求证：以AB为直径的圆过定点.

2 题源探析

本题与2009年全国山东高考理科卷第22题如出一辙.

设椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0过M2，2，N6，1两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围，若不存在，请说明理由.

两道试题的第（2）问有异曲同工之妙，都是与定圆相切的直线与圆锥曲线相交，涉及垂直条件的运用与转化，考查了特殊与一般思想的运用.不同之处在于：高考题是已知OA⊥OB，考查能否找到一个圆心在原点的圆与直线AB相切，而省检试题在于试题的结论变成条件，其条件变为我们要证明的结论.高考题的表征形式较为清晰明了，而省检试题描述了点、线与圆的形态与变化过程，给学生的数学表征造成了一定的障碍.

但在解题中会发现曲线的几个要素在变化，虽有圆的半径、直线方程中的斜率、截距等众多的因素干扰，但解决问题的思路是一样的，均考查了数学表征的能力和运用特殊与一般思想解决问题的素养.

3 解法剖析

第（1）问不难，如图1建立平面直角坐标系，易得C的方程为x22+y2=1.

难在第（2）问，首先需对给定条件作几何推演，找出几何关系，再将几何条件代数化予以求解.

角度2 因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.利用特殊情况，当直线AB垂直于x轴时，不妨设直线为x=63，则得到A63，63，B63，-63.又因为以AB为直径的圆过定点，则所对应的向量数量积为0.所以猜测点O即为所求的点.验证斜率不存在的情况同法1.

角度3 当无法挖掘出以AB为直径的圆过定点O，由于对称性可知，经过的定点一定在x轴上，设定点为N（t，0），验证NA·NB=（x1-t）（x2-t）+y1y2=0时，t=0.则以AB为直径的圆过点O.

當直线AB垂直于x轴，验证以AB为直径的圆过点O.

4 思想赏析

以上六个角度将解析几何研究的基本方法和基本思想体现得淋漓尽致，其基本思路：几何条件→代数形式→代数结果→几何条件，即：充分挖掘几何条件，转化代数形式，通过代数运算得到代数结果，代数结果用几何条件表达.最主要就是要理解问题的实质，从而建立条件与结论之间的联系.

角度1到角度4立足于几何条件“AB为直径的圆过定点”充分转化为定点与AB的数量积为0，利用特殊到一般、数形结合、方程思想解决问题.

角度5到角度6立足于几何条件“AB为直径的圆过定点”充分转化为将AB为直径的圆方程写出来，利用数形结合和方程思想得到过定点.

上述哪个角度比较好呢？显然，“AB为直径的圆过定点”充分转化为“定点与AB的数量积为0”运算更为简便.若通过对角度1到角度4对比，发现：（1）如若学生利用数形结合思想可以充分挖掘几何条件：AB为直径的圆过定点O;（2）学生利用特殊到一般思想引领，则大大降低求解运算.

正因如此，破解解析几何问题的基本思想是用代数手段来研究几何问题，这里很自然需要我们充分挖掘几何条件，将其代数化，同样通过代数运算得到的代数形式几何化，进而建立条件与结论之间的联系，同时我们要树立运用思想引领解题意识，运算就会变得简单，解题就会挥洒自如.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2020年修订版）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 林新建.我的教学主张——自然数学[M]. 厦门：厦门大学出版社，2020.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：林琳琳（1988.11-），女，福建省福清人，硕士，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2020年度立项课题“基于学科融合的高中数学教学设计案例研究”（项目编号：FJJKXB20—694）;福清市教育科学研究 “十四五”规划2021年度专项课题“‘四元五环教学在高中数学概念教学的实践研究”（项目编号：FQ2021ZX006）.