巧构辅助圆，解法天然成

陈国华

【摘要】设想，是对同一问题从各个不同的角度去观察、思考、分析其特征，推测其解题的大致方向，构思各种不同的处理方案，这是在解题过程中探究解题途径的基本方法.近几年的中考的热点问题——利用动点求最值问题及长期以来竞赛中的四点共圆，一直是很多考生难以逾越的一道屏障，普遍得分率偏低，究其原因是此类题用常规方法很难解决问题，而且不容易找到思路，大部分考生都只能选择放弃.然而静下心来细细品味，不难发现这类题目的解题思路有共同的地方.如果能利用设想构造适当的图形来给予辅助，往往能促使问题转化，使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造的环境中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题，这种解题方法称为构造法.这种方法充分利用了数形结合的思想，使代数与几何等知识相互渗透，综合应用，它不但能较好地达到解题的目的，还有利于培养学生分析问题的能力.

【关键词】构造法；辅助圆；解法自然生成

在针对这类题型解决问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.可是大多数时候我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的隐形圆找出来.

1.利用圆的定义构造辅助圆

案例1 （2014成都中考）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是.

分析 关键是根据题意得出A′的位置，可难点在于N点是动点，导致A′的位置随N的移动而移动，初看似乎没有思路，但是注意到运动过程中有两个不变量，一是M的位置不变；二是AM的长度不变，并且AM′=AM，由此我们可以联想到圆的定义：平面内，动点到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆.那我们就以M点为圆心，AM为半径作圆，A′的轨迹就是圆M.这样，题目难度就大打折扣，现在问题就转化为在圆上找一点A′使得圆外一点C到A′的距离最小.这个问题就转化成我们所熟悉的了，连接CM与圆的交点即为所求的点（如图2），进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可.

2.利用三角形的外接圆构造

案例2 （2013武汉中考）如图3，E，F是正方形ABCD的边AB上两个动点，满足AE=BF.连接CF交BD于点G，连接DE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段BH长度的最小值是.

分析 此题的难点在于动点太多，E，F两点的移动，导致G，H两点随之移动，同时还有条件AE=BF做限制，看起来问题已经陷入僵局，有一种“山穷水尽”的味道.与其就此放弃，不妨做一些大胆的尝试.既然E，F两点在移动过程中始终保证AE=BF，那就让这两个点取特殊位置.先考虑E，B两点重合，F，A两点重合，此时H，G和AC与BD的交点O三点重合，接着不断改变E，F两点的位置，做出H的运动轨迹.

到此时我们再根据正方形的特殊性，容易得出H点的轨迹在以AD的中点O′为圆心，AD的一半为半径的四分之一圆周上.现在问题就转化为在圆O′上找一点H使得圆外一点B到H的距离最小.这样原本很复杂的问题就得到自然转化，转化到熟悉的知识框架中，圆外一点和圆上各点的连线段中最短线段必过圆心，于是连接BO′与圆的交点即为所求的点H（如图4），进而利用勾股定理求出BH的长即可.

3.利用四点共圆构造辅助圆

案例3 如图5，在ABCD内取一点P，使∠1=∠2，求证∠3=∠4.

分析 本题和前面的题目有比较大的区别，在于之前的题目有动点，本题没有.下面我们来考察求证相等的∠3同∠4是平行四边形对角的部分，似乎只需∠PBC=∠PDC，但是这同原题没什么分别，所以应该另想其他办法.由于题设ABCD为平行四边形，可设法做辅助线，构造出新的等角.因此，不妨过P点做AD的平行线，构造新的平行四边形，完成角的转化，寻找突破口，为此我们不妨一试.

如图5作平行四边形APQD，则∠1=∠5，∠4=∠6，又PQ∥AD∥BC，PQ=AD=BC，得另一个平行四边形BCQP，则∠3=∠8，由此，∠1=∠2=∠5=∠7，故P，C，Q，D四点共圆（如图6），所以，∠6=∠8，从而∠3=∠4.