极坐标变换计算二重积分中积分限转换的一种简单方法

孙茜

【摘要】在用极坐标变换法计算二重积分时，对于如何转换积分限是难点，本文提出了一种容易理解和掌握的方法.

【关键词】极坐标；二重积分；转换

二重积分的计算通常是在直角坐标系中进行，对于被积函数含有x2+y2或者积分区域是圆、扇形、弧形的二重积分，将直角坐标系转化到极坐标系下计算比较简单，常见的转换方法是将直角坐标系中原点看成极坐标系下极点，x正半轴为极轴，根据Df（x，y）dxdy=Df（rcosθ，rsinθ）rdrdθ转换，其中如何将直角坐标系下积分限转换为极坐标系下的积分限是难点，本文结合两道典型例题对此难点提出了一种容易理解和掌握的方法.

教材中将二重积分在极坐标变换下的转换方法分为三种，分别为：α≤θ≤β，φ1（θ）≤r≤φ2（θ）；α≤θ≤β，0≤r≤φ（θ）；0≤θ≤2π，0≤r≤φ（θ），在实际解题中，很多学生很难区分具体用哪种方法并频繁得到错误结果，实际上，如果结合图形看：

若将极轴Ox看成一条绕着极点O移动的动直线，动直线Ox逆时针旋转的角度视为正角，动直线顺时针旋转的角度视为负角，逆时针移动动直线Ox从正角α开始接触积分区域到正角β结束刚好完全扫过积分区域，因此角θ的范围为α≤θ≤β.

对于r的范围可以这样看：从极点O出发引射线穿过积分区域，只允许射线与积分区域至多有两个交点（如果交点多于两个，则需要对积分区域分割），观察射线与积分区域的交点位置，先交区域D的交点所在的曲线为r的下限，后交区域D的交点所在的曲线为r的上限，因此r的范围为：r1（θ）≤r≤r2（θ），因此直角坐标系下的二重积分转化成极坐标系下的二重积分的计算式子为：

下面举例说明：

例1 求Dx2+y2dxdy，D：x2+y2≤2ax（a>0）.

分析：如图1，逆时针和顺时针旋转极轴Ox才能将区域D完整覆盖，转动最大角90°和最小角-90°，因此角θ的范围是-90°到90°，从极点（原点）出发引射线交区域D于两点，其中一点与O重合，此时r为0，另外一点所在的曲线为x2+y2=2ax（a>0），其中x=rcosθ，y=rsinθ，转化成极坐标系下的曲线为r=2acosθ，因此

例2 求Dx2+y2dxdy，其中D是由圆y=4-x2和y=-x2-2x所围的区域.

分析 如图2，从极点（原点）出发引射线，观察射线与区域的交点，注意到所引的射线在第一象限和第二象限时与区域的交点所在的曲线不同，因此该题用极坐标变换定限时要将区域D分割定限.y=4-x2，y=-x2-2x化成极坐标中曲线得r=2，r=-2cosθ.根据上面的方法易知第一象限区域D1的θ范围0≤θ≤π2，从极点引射线交区域于极点和曲线r=2，因此D1：0≤θ≤π2，0≤r≤2，同理极轴Ox刚好扫过第二象限区域D2需旋转范围π2≤θ≤π，极点O引射线依次交曲线r=-2cosθ，r=2，得到D2：π2≤θ≤π，-2cos

2总结 对于用极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ解决直角坐标系下的二重积分计算问题，只要认清极点和极轴在直角坐标系中的位置，通过绕极点移动极轴使它刚好覆盖积分区域，观察它的角度变化范围便得到角θ的范围，过极点引射线观察射线与积分区域交点，交点所在的曲线来定r的上下限，在实际解题过程中，这种方法不容易出错且易于掌握.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014.