立足思维习惯训练 强化几何直观培养

陈娣

［摘  要］ 文章结合具体例题，通过重视对学生画图习惯的培养，鼓励学生数与形结合分析和思考问题；学会基本图形的应用，让学生在训练中感受图形的魅力；感悟几何直观的美妙，以培养学生的直观意识等教学策略，发展学生几何直观能力。

［关键词］ 几何直观；画图习惯；习惯培养；数形结合

几何直观作为数学十大核心概念之一，顾名思义，是由几何和直观这两个方面融合而成，可以理解为依托图形进行思考和想象。事实上，不管是概念、性质、法则的教学，还是解题教学，都可以借助于几何直观进行发现、探索和记忆。既然几何直观有如此大的作用，那么该如何对学生进行这方面能力的培養呢？笔者认为，教师应时时强调几何直观的重要性，尽可能多地给予学生思维训练的机会，让学生在训练中体验图形的魅力，感悟几何直观的美妙，以培育几何直观能力［１］。

一、重视对学生画图习惯的培养

对于处于数学学习第一阶段的小学生来说，抽象思维较为薄弱，而形象思维却异常发达，他们对图形的敏感程度往往高于数学符号和数学语言。为了更好地迎合小学生习得抽象知识的“口味”，教师可以通过画图这一媒介，让画图来化解抽象知识与形象思维间的矛盾，让学生更轻松理解数学知识。同时，教师应充分发挥画图的独特效能，有意识地通过画图揭示数量关系，描述概念、定理等的内涵，给足学生充分体验图形直观的过程，以激活学生的思维，培养学生画图的习惯，助力其几何直观的形成。

例1  A、B两车同时从南城出发到北城，A车到达北城后立刻返回，在距离北城49千米的地方和B车相遇，且A、B两车的速度之比为5 ∶ 3，问两车相遇时A车行驶了多少千米？

分析：本题为一道典型的行程问题，题目中的条件并不多，却对数学思维提出了较高的要求，使得学生在解答时极易思维卡壳。此时倘若能够用到画图分析的方法，那么则可以化难为易，让问题的解决水到渠成。

师：有同学知道这道题的解题思路吗？（学生各个面露难色，显然本题的难度对于学生来说较大）

师（点拨）：在解题时，如果读题无法建立数量关系，我们可以怎么办？

生1：画图。

师：非常好，那我们就试一试，看画图能否给我们提供解题思路。（学生各个积极投入画图行动，很快有了结果）

生2：我画出了图1，根据图形可以发现，A和B两车从出发到相遇一共行驶了两个全程，其中A比B多行驶了2个40千米，所以可以得出路程差是80千米。又根据速度之比为5 ∶ 3，可见相同时间内的路程比也是5 ∶ 3，进一步得出路程差是“1-”。最终列出算式“40×2÷1-=200（千米）”。

正是因为图形的形象性，学生倍感直观；正是因为图形隐含条件“路程差”的暴露，学生很快就能想到解题思路，从而很好地突破了“找寻路程差”这一难点。可以说，正是有了巧妙的作图与分析，才能让学生感受到几何直观的神奇，从中体验到数学解题的快乐。

从本例中可以看出，在解题中碰到一些难以理解和较为困惑的题目时，如果能自然而然地想到画图，可以让隐含于题目文字或式子之中的条件显性化，使抽象的问题形象化，从而方便形象思维的开展，让学生快速找寻到问题的突破口，促成解题路径的形成。

二、鼓励学生数与形结合分析和思考问题

“数”抽象概括了“形”，“形”直观表现了“数”，这就是数形结合。在解决复杂数学问题时，可以鼓励学生数与形结合分析来搭个梯子，让学生更加轻松地梳理题意，扩展思维，自然而然地在数形结合中建立直观经验，从而为发展几何直观开辟一条重要途径。

例2  计算：+++++…

分析：倘若本题只有前面几项，学生可以通过通分在较短时间内完成计算，但本题是求无数项的和，难度之大也是可想而知的。当然，也有一小部分学生可以猜出“1”这个结论。但是当问及“能说一说理由吗”，学生依然无法解说。此时，倘若能数与形结合起来分析和思考本题，自然也就峰回路转了。

师：我们一起来猜想一下，若一直加下去，和是多少？（学生大胆猜想，得出了各种各样的答案）

师（拾级而上）：我们一起来看图2，有何发现？（PPT呈现图2）

师：就这样，不停加下去，空白部分有何变化？

生2：会越来越少，直至消失。

师：非常好！（继续PPT呈现图3）随着加数的增加，阴影部分的面积逐步增大，越发接近一个圆的面积，当相加的项增加到无数个时，那阴影部分就是一个圆，结果自然等于1。

本例中，正是由于加数个数的无限性，使得数形结合的应用让计算更简捷，同时让学生充分明晰了题目的深意，关键是通过数与形的完美沟通，让学生亲历规律探究和验证的过程，有效地渗透极限思想。如此巧用“数形结合”的教学，完美地与小学生的认知规律相融合，通过鼓励学生猜想，再到以“形”验证猜想，这样步步深入，问题的本质自然衔接，不仅可以保证学生解决问题的效率，还可以促进几何直观的形成。

三、培养学生学会基本图形的应用

应用基本图形对于学生几何直观能力的培养和解题能力的提升作用明显，但是在实际教学中，一些学生往往会由于画图不够准确、讨论不够深刻、理解不够全面等原因导致出错。因此，教学中教师应教会学生准确画图，并学会应用基本图形，通过图形去发现问题、表达问题、理解问题，助力解题能力的提升，孕育几何直观［２］。

例3  以“题组”为例

问题1：器材室有20个排球，足球比排球多，足球有多少个？

问题2：器材室有20个足球，足球比排球多，排球有多少个？

问题3：器材室有20个排球，足球比排球少，足球有多少个？

问题4：器材室有20个足球，足球比排球少，排球有多少个？

分析：初学时，面对这样一组易混题型，不少学生会觉得十分简单。但是在具体解决时，却错误百出。事实上，倘若能应用好图形来解决各题，则可轻松定位解题思路，快速而正确地解题。基于这样的认识，本题可以根据题意依次画出图4所示的线段图。同时，在读题的过程中，单位“1”可以准确而快速地确定，问题1和问题3中的单位“1”已知，即可选择用乘法计算，问题2和问题4的单位“1”未知，即可选择用除法计算。除此之外，这4题在思路上有一个相同点，就是比较量都需与单位“1”的量进行比较。

就这样，通过易混题型的组合练习，学生对解法和思路都有一个准确的定位，原本难以理解的数学问题也变得直观化和简捷化。这一过程实现了对分数实际问题数学模型的自主建构，同时促进学生思维的深刻化。

实践证明，几何直观的培育可以让学生学会数学思考，以促进思维能力的提升和数学素养的发展。因此，在教学中教师应精心设计教学环节，给予学生足够的时空，重视对学生画图习惯的培养，鼓励学生数与形结合分析和思考问题，并教会学生应用基本图形，通过图形去发现问题、表达问题、理解问题，助力解题能力的提升，从而提高几何直观思维能力。

参考文献：

［１］  赵生初，许正川，卢秀敏. 图形变换与中国初中几何课程的自然融合［Ｊ］. 数学教育学报，２０１２，２１（０４）：９５－９９.

［２］  周海东. 初中数学教学中几何直观能力培养探析［Ｊ］. 中学数学，２０１４（０６）：７０－７２.