用常微分方程组逼近中一类立型微分差分方程组

何 洋

(滁州城市职业学院 基础部，安徽 滁州 239000)

相关学者曾就微分方程组与微分差分方程组的稳定性逼近问题进行研究[1-2]，在此基础上，有关学者研究常微分方程组与一类中立型微分差分方程组的稳定性逼近问题[3-5]，研究结果显示方程组渐近稳定性逼近过程中，对带有两个滞量(c)以上的一类中立型微分方程解的研究更不多见，滞量存在充分必要条件.以上研究基础均为方程组内常数相加所得结果小于0，对于方程组内常数相加所得结果等于0，即第一临界条件下方程组渐近稳定性逼近过程中滞量的充分必要条件研究较为鲜见[6].因此，用常微分方程组逼近一类中立型微分差分方程组的方法，由两种不同角度出发研究滞量的充分必要条件.

1 常微分方程组逼近中立型微分差分方程组方法

1.1 常微分方程组与中立型微分差分方程组间的稳定性逼近

二阶中立型时滞微分方程

{r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)r2m+1}′+q(t)x(g(t))=0,t≥t0

(1)

的有界解和所有解振动的充分条件,其中P(t)为非负整数0

定理A若g(t)≤t,g″(t)≥0,且以下条件成立：

(2)

(3)

则方程(1)的所有有界解是振动的.

定理B假设g(t)≥t,p′(t)≤0,0

(4)

成立,则方程(1)振动.

假设，00是两个正奇数之比,则方程:

(5)

的每个解当t→∞的时趋于常数(滞量用c表示).

此时，将一类中立型时滞微分方程定义为：

(6)

在此基础上，构建一类非线性中立型时滞微分方程为：

(7)

的渐近性,证明了 定理B如果:

(1)0≤c<1,τ>0；

(3)当x≤y，时F(t,x,y)≥0；

(4)当x>y，时F(t,x,y)≤0；

(5)对R中的任一紧区间I,存在L=L(I)≥0,使得:

|F(t,x,y)|≤L|x-y|,(x,y∈I,t≥0).

(8)

在此前提下，构建新的一类中立型微分差分方程组为：

(9)

构建其相应的常微分方程组为：

(10)

式(9)与式(10)内，a、b、c、t均为常数，r表示滞量.

在a值与b值相加所得结果小于0的条件下：

(11)

由式(11)得到在且仅在0≤r<Δ(a,b,c)的条件下，式(9)所示的一类中立型微分差分方程组的零解处于渐近稳定状态，也就是式(6)所示的常微分方程组的零解渐进稳定性能够逼近式(9)所示的一类中立型微分差分方程组.

证明：

设定稳定算子和满足式(5)所示的一类中立型微分差分方程组零解为渐近稳定的充分必要条件如式(12)和式(13)所示：

Dφ=φ(0)+cφ(-r),(|c|<1) ,

(12)

λeλr+cλ-acλr-b=0.

(13)

(14)

(1)在a绝对值大于b绝对值的条件下，设定A、B、C、D的值分别为1、-ar、c和-br，通过相同的运算过程能够得到，在0≤r<+∞条件下，式(13)所示的特征方程的根都存在负实部，也就是式(9)所示的一类中立型微分差分方程组的零解处于渐近稳定状态.

(2)在a绝对值小于b绝对值的条件下，设定A的平方值大于C的平方值、B的平方值小于D的平方值、A与C的和同B与D的和之间的乘积大于0，且K2=K3，通过求解K2=K3的值能够获取r取值范围.

在0<τi<π(i=2,3)的条件下，τ2与τ3相加所得结果与π一致，根据K2=K3能够得到：

(15)

设定：

(16)

(17)

基于式(15)和式(16)可将式(14)转化为：

(18)

求解式(18)能够得到：

(19)

转换式(19)得到：

(20)

通过分析得到式(20)内右侧不等式成立[8]，求解左侧不等式得到r符合：

(21)

针对式(13)所示的特征方程，设定A、B、C、D的值分别为1、-a、c和-b，将所设定各参数值带入式(21)能够得到：

(22)

根据τ2=π-τ3可得：

(23)

(3)在a绝对值等于b绝对值的条件下，a值与b值相加所得结果小于0.因此a值与b值相等，且a值小于0，在此条件下，式(13)所示的特征方程转换为：

λeλr+aeλr+cλ-a=0.

(24)

若式(24)所示的特征方程存在纯虚根[9]：λ=iy，y∈R，将其带入式(24)所示的特征方程内得到y值为0，也就是λ值为0，同时又可知λ值为0不是根；

若式(24)所示的特征方程存在正实部根[9]：λ=α+iβ，α>0，将其带入式(24)所示的特征方程内得到：

eλr|α-a+iβ|=|a-ca-i⊂β|.

(25)

考虑a值大于0，c的绝对值和a值分别小于1和0，因此能够得到：

e2αr(a2+a2+β2-2αa)>a2+c2α2+c2β2-2acα.

(26)

由于式(26)具有矛盾性，因此在a绝对值等于b绝对值的条件下，式(9)所示的中立型微分差分方程组的特征方程均存在负实部，也就是在0

通过以上过程能够得到a值与b值相加所得结果小于0的条件下，滞量符合充分必要条件时常微分方程组的渐近稳定性能够逼近中立型微分差分方程组.但在a值与b值相加所得结果为0的条件下，也就是第一临界条件下[11]，常微分方程组的渐近稳定性逼近中立型微分差分方程组时，滞量的充分必要条件估计尚不明确，因此，下文在相关学者研究成果基础上，研究第一临界条件下常微分方程组的渐近稳定性逼近一类中立型微分差分方程组时，滞量需符合的充分必要条件.

1.2 第一临界条件下滞量的充分必要条件

在a值与b值相加所得结果为0的条件下，设定：

(27)

由此得到在且仅在0≤r<Δ(a,c)的条件下，式(1)所示的一类中立型微分差分方程组的零解处于渐近稳定状态，也就是式(10)所示的常微分方程组的零解渐进稳定性能够逼近式(9)所示的中立型微分差分方程组.

证明：

1.充分条件证明

r值为0条件下的充分条件显而易见[12]，在此无需特意描述.因此，以下由a值小于等于0和a值大于0两种条件下分别进行滞量的充分条件证明.

(1)在a值小于等于0的条件下，由于全部r∈(0,+∞)，1-c-ar≠0，因此得到特征函数f(λ,eλr)的一个单零点可表示为λ0=λ0(r)≡0，现证明其剩余零点均处于开左半复平面.

利用λi=λi(r),i=1,2,…表示特征函数F(λ,eλr)的零点，通过分析得到其包含无限小的正数t0，通过t0可令全部r∈(0,t0)的零点均处于开左半复平面.

利用式(28)表示特征函数F(λ,eλr)的辅助函数：

(28)

简化式(28)后基于Routh Hurwitz理论得到[13]，针对全部小于0的σ，简化后的式(28)全部根均处于开左半复平面.由此能够得到，在r∈(0,+∞)的条件下，F(λ,eλr)的零点均处于开左半复平面.这一结果说明特征函数除一单零点处于λ0=λ0(r)≡0外，剩余零点均处于开左半复平面，即式(5)所示的一类中立型微分差分方程组的零解均处于渐近稳定状态.

(2)在a值大于0的条件下，特征函数包含无限小的正数t0，通过t0可令特征函数针对全部r∈(0,t0)的根均处于开左半复平面.

2.必要条件证明

a值小于等于0必要条件显而易见，在此无需特意描述.因此以下由a值大于0的角度出发进行滞量的必要条件证明.

2 结 论

用常微分方程组逼近一类中立型微分差分方程组的方法，从中立型微分差分方程组内常数相加所得结果小于0和等于0两种条件下，分别研究常微分方程组的零解渐进稳定性能够逼近所示的一类中立型微分差分方程组时滞量的充分必要条件.所得结果显示在常数相加所得结果小于0的条件下，特征方程均存在负实部；在常数相加所得结果等于0的条件下，特征方程的所有根均处于开左半复平面.