刘大鹏
(辽宁省黑山县第一高级中学 121400)
本文用特征根法解决已知a1,a2,an+2=aan+1+ban,求数列通项公式型问题.
定义方程x2-ax-b=0叫做递推公式an+2=aan+1+ban的特征方程,其根叫做特征根.
证明(用第二数学归纳法)
(1)当n=1时,a1=c1x1+c2x2结论成立.
当n=k+1时,
ak+1=aak+bak-1
综上,结论对一切自然数n都成立.
解析特征方程为x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3.
所以an=c1(-1)n+c23n.
例2 (2006年福建文22)已知数列{an},a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,n∈N*,求{an}的通项公式.
解析特征方程x2-3x+2=0的根为x1=1,x2=2.
所以an=c1+c22n.
解得c1=-1,c2=1.
所以an=-1+2n.
证明(1)当n=1时,a1=(c1+c2)x0结论成立.
ak+1=aak+bak-1
综上,结论对一切自然数n都成立.
例3 (2008年天津文20)数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1-an=q(an-an-1),(n≥2,q≠0),求{an}的通项公式.
解析特征方程x2-(q+1)x+q=0的根为x1=1,x2=q.
①当q=1时,an=(c1+c2n),
所以an=n.
②当q≠1时,an=c1+c2qn,
定理3 若特征方程有两个共轭虚根
x1=r(cosθ+isinθ),x2=r(cosθ-isinθ),
则an=rn(c1cosnθ+c2sinnθ),
证明见文[2].
例4 (自编新题)已知数列{an},a1=1,a2=3,an+2=2an+1-4an,n∈N*,求{an}的通项公式.
解析特征方程x2-2x+4=0的根为