一些常系数非齐次线性微分方程的复数解法

2021-02-06 10:07:52成都信息工程学院数学学院杜先云
数学大世界 2021年1期
关键词:特征方程虚部实部

成都信息工程学院数学学院 杜先云

绵阳师范学院数学与物理学院 任秋道

一、引入

现行《高等数学》中微分方程给出了二阶常系数非齐次线性微分方程

的解法,解的形式需要求待定多项式,过程较复杂。我们给出该类型微分方程的复数解法,方法简单,还可以减少计算量。

二阶常系数非齐次线性微分方程y''+py'+qy=Pm(x)eλx(λ∈C)的特解为

其中,Qm(x)是与Pm(x)同次(m次)多项式,而k要分三种情况:当λ不是特征方程的根、是特征方程的单根及是特征方程的二重根时,k分别取0、1 及2。

二、复数的解法

讨论下列二阶常系数非齐次线性微分方程:

的解,其中,p,q,α,β∈R,Ol(x),On(x)及Pm(x)分别为l,n及m次实系数多项式。

定理:方程(2)与(3)的解分别是复数方程y''+py'+qy=Pm(x)eλx的解的实部和虚部,它们的特解分别是

的实部和虚部,特解的共同形式:

其中,Qm(x)是m次复系数多项式,且当λ=α+βi不是特征方程的根与是特征方程的根时,k分别取0 及1。

方程(2)的解y1*=Rey=xkeαx[Qu(x)cosβx-Qv(x)sinβx],方程(3)的解y2*=Imy=xkeαx[Qu(x)sinβx+Qv(x)cosβx],它们有共通形式:y=xkeαx[cosβxRm(x)+sinβxSm(x)]。

推论:方程(4)的特解为y*=Re[xkeλxQl(x)xk]+Im[xkeλxQn(x)]=xkeαx[cosβxRm(x)+sinβxSm(x)],其中,Ql(x)与Qn(x)分别是l与n次复系数多项式,Rm(x)与Sm(x)是m(m=max{l,n})次实系数多项式,当λ=α+βi不是特征方程的根与是特征方程的单根时,k分别取0 及1。

其中,Rm(x)与Sm(x)是m(m=max{l,n})次实系数多项式,而当λ=α+βi不是特征方程的根与是特征方程的根时,k分别取0 及1。

猜你喜欢
特征方程虚部实部
相邻三项线性递推关系数列通项的简便求法
中学数学(2024年9期)2024-05-20 02:04:14
格点量子色动力学数据的虚部分布与信号改进*
物理学报(2023年20期)2023-11-16 10:43:34
用特征根法求数列通项公式
两类特殊多项式的复根虚部估计
中等数学(2021年6期)2021-08-14 02:35:50
例谈复数应用中的计算两次方法
浅谈正Γ型匹配网络的设计
卷宗(2016年8期)2016-11-15 20:56:37
一种基于电涡流和实部互阻抗检测的金属温度监测方法
电测与仪表(2016年2期)2016-04-12 00:24:48
一类n阶非齐次线性微分方程特解的证明及应用*
温度对低段工作频率全固态中波发射机天调网络阻抗影响与改进
高阶齐次线性递归数列特征方程的由来
考试周刊(2014年69期)2014-10-13 05:44:44