高阶齐次线性递归数列特征方程的由来

王婷

一、问题提出

高阶齐次线性递归数列是一种十分重要的数列，它不仅在高考中占有一席之地，在各类数学竞赛中也是常客，大多是将高阶齐次线性递归数列与特征方程联系起来，利用特征根法求得其通项公式，但是特征方程是如何“从天而降”，递归数列如何与特征方程联系起来是许多读者困惑的问题.教学，不仅要知其然更要知其所以然，才能深刻理解知识的“来龙去脉”，才能称得上掌握知识.本文就针对高阶齐次线性递归数列，还原其特征方程的由来过程.

先来回顾文[1]中二阶线性递归数列：x■=p■x■+p■x■①

采用分配降阶得：x■=（α+β）x■-αβx■②

比较①式与②式，得p■=α+β，p■=-αβ，由韦达定理可知：α，β是方程x■-p■x-p■=0的根，此方程就称为二阶齐次线性递归数列①的特征方程.

把这种分配的思想运用到三阶、四阶，甚至阶齐次线性递归数列中，即可得到相应的特征方程.

二、预备知识

先介绍一元次方程根与系数的关系[2].

设n次多项式f（x）=x■+a■x■+…a■x+a■的n个根为α■，α■，…α■，那么f（x）就可以分解成：f（x）=（x-α■）（x-α■）…（x-α■）

即：x■+α■x■+…+α■x+α■=（x-α■）（x-α■）…（x-α■）

将上式右端展开、整理，并比较等式两边同次项系数得

α■+α■+…+α■=-α■α■α■+α■α■+…+α■α■=α■α■α■α■+α■α■α■+…+α■α■α■=-α■……α■α■…α■=（-1）■α■

这就是n次多项式的根与系数的关系定理，也称为韦达定理.

三、高阶齐次线性递归数列特征方程的由来

要说明特征方程的由来，只需说明根与系数具有上述关系，从而构造高阶齐次线性递归数列的特征方程.

用数学归纳法推导高阶齐次线性递归数列x■=p■x■+p■x■+…+p■x■（r≥3）的特征方程.

当r=3时x■p■x■+p■x■+p■x■③

x■-αx■=β（x■-αx■）+γ（x■-αx■）④

比较③式、④式得

α+β=p■γ-αβ=p■γα=-p■⑤

令A■=x■-αx■，则A■=x■-αx■，那么④式就变形为A■=βA■+γA■.

由二阶齐次线性递归数列可知：

b■+b■=βb■b■=-γ⑥

将⑥式代入⑤式得：

α+b■+b■=p■αb■+αb■+b■b■=-p■αb■b■=p■

表明α，b■，b■是特征方程x■-p■x■-p■x-p■=0的根.

现假设当r=m-1时，x■=p■x■+p■x■+…+p■x■的特征方程根与系数的关系满足：

b■+b■+…+b■=p■■b■b■=-p■■b■b■b■=p■b■b■…b■=（-1）■p■

其中b■，b■，…，b■是m-1阶特征方程的根.

那么，当r=m时，有x■=p■x■+p■x■+…+p■x■⑦

利用分配降阶的思想，将⑦式变形为：

x■-c■x■=c■（x■-c■x■）+c■（x■-c■x■）+…+c■（x■-c■x■） ⑧

令A■=x■-c■x■，则A■=x■-c■x■，⑧式就变形为A■=c■A■=c■A■+c■A■+…+c■A■.

由假设可知，此m-1阶特征方程根与系数的关系满足：

b■+b■+…+b■=c■■b■b■=-c■■b■b■b■=c■b■b■…b■=（-1）■c■⑨

比较⑦、⑧式得：

c■+c■=p■c■-c■c■=p■…c■c■=-p■⑩

将⑨式代入⑩式得：

c■+b■+b■+…+b■=p■■b■b■+c■■b■=-p■c■b■b■…b■=（-1）■p■

上式表明c■，b■，…，b■是方程x■=p■x■+p■x■+…+p■x+p■的根，

亦即x■=p■x■+p■x■+…+p■x■的特征方程.

四、结语

在教学过程中，教师需要传授的不仅仅是知识本身，更重要的是给学生创造探索其来源的机会，让他们在不断探索的过程中感受隐藏在知识背后的数学魅力.

参考文献：

[1]沈恒.再谈2008年广东高考数学压轴题[J].数学教学通讯（教师版），2009（7）.

[2]王萼芳，石生明.高等代数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.