构造法破解比较大小问题

2022-05-30 10:48张严田
数理天地(高中版) 2022年19期
关键词:模拟题综上扇形

张严田

【摘要】近几年的高考试题和模拟试题特别青睐于比较大小问题,而且此类题目普遍偏难,已经成为拉分题,这类问题的破解之策越来越受到广大师生的重视.

【关键词】构造法;大小比较

比较大小问题已经成为近几年各类模拟题和高考试题的热点考向,本文略举几例抛砖引玉,探讨其解法.

例1设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则()

(A)a

(C)c

解法1构造函数f(x)=lnx+1x(x>0),

则f′(x)=1x-1x2,x>0,

当f′(x)=0时,x=1,

所以0

x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

即f(x)在x=1处取得最小值f(1)=1,

所以lnx≥1-1x,当x=1时等号成立,

所以ln0.9>1-10.9=-19,

于是-ln0.9<19,

即c

因为-ln0.9=ln109>1-910=110,

所以109>e0.1,0.1e0.1<19,

即a

因为0.1e0.1>0.1×1.1=0.11,

而-ln0.9=ln109<12109-910=19180

<0.11,

所以a>c,

故c

解法2先比较a与b.

设F(x)=(1-x)ex-1(0

则F′(x)=-xex<0,

所以F(x)在0

故F(x)

即(1-x)ex<1,

所以ex<11-x(0

取x=0.1,得e0.1<11-0.1=109,

所以0.1e0.1<19,即a

再比较a与c.

易知ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号,

取x=0.1,得e0.1>1.1,

所以a=0.1e0.1>0.11.

设G(x)=2lnx-x+1x(x>1),

则G′(x)=2x-1-1x2=-(x-1)2x2<0,

所以G(x)在x>1上单调递减,

故G(x)1),

即2lnx1).

取x=109,得

ln109<12109-910=19180<0.11<0.1e0.1=a,

即c

综上知,c

解法3由不等式lnx<12x-1x(x>1),

得ln109<12109-910=19180<0.11,

又因为e0.1>0.1+1=1.1,

所以a=0.1e0.1>0.11,

即c

由ex≥x+1,得e-x>-x+1(0

即ex<11-x,

所以e0.1<11-0.1=10.9,

故a=0.1e0.1<19,即a

綜上知,c

故选(C).

例2已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则()

(A)c>b>a.(B)b>a>c.

(C)a>b>c.(D)a>c>b.

(2022年全国甲卷)

解法1设

f(x)=cosx+12x2-1(0

则f′(x)=x-sinx.

设g(x)=x-sinx(0

g′(x)=1-cosx>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增,

即g(x)>g(0)=0,f′(x)>0,

故f(x)在(0,1)单调递增,

所以f14>f(0)=0,

即cos14>3132,

故b>a.

利用三角函数线可得x∈0,π2时,tanx>x,

所以tan14>14,

即sin14cos14>14,

所以4sin14>cos14,

即c>b.

综上知,c>b>a,选(A).

解法2构造半径为4,弧长为1的扇形AOB,在扇形AOB中,∠AOB=14,|AB|<1,

所以cos14=|OA|2+|OB|2-|AB|22|OA|·|OB|

>42+42-122×4×4=3132,

故b>a.

利用三角函数线可得x∈0,π2时,tanx>x,

所以tan14>14,

即sin14cos14>14,

故4sin14>cos14,

即c>b.

综上知,c>b>a,选(A).

例3已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()

(A)a>0>b.(B)a>b>0.

(C)b>a>0.(D)b>0>a.(2022年全国甲卷·文)

解法1因为9m=10,

所以m=log910,

因為1=log99

所以1

构建函数f(x)=xm-(x+1)(x>1),则

f′(x)=mxm-1-1.

令f′(x)>0,得

函数f(x)的单增区间为(m11-m,+∞).

由1

所以111-m>m11-m>3211-m,

即m11-m<1,

故f(x)在(1,+∞)上单调递增,

于是有f(10)>f(9)>f(8),

即10m-11>9m-10>8m-9,

故a>0>b,选(A).

解法2因为9m=10,所以m=log910,

又lg9>0,lg11>0,

由基本不等式

lg9lg11

所以1-lg9lg11>0,

从而log910-log1011=1lg9-lg11

=1-lg9lg11lg9>0,

所以log1011

即10m>11,

故a>0.

同理b<0.

综上知,a>0>b,选(A).

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