张严田
【摘要】近几年的高考试题和模拟试题特别青睐于比较大小问题,而且此类题目普遍偏难,已经成为拉分题,这类问题的破解之策越来越受到广大师生的重视.
【关键词】构造法;大小比较
比较大小问题已经成为近几年各类模拟题和高考试题的热点考向,本文略举几例抛砖引玉,探讨其解法.
例1设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则()
(A)a
(C)c 解法1构造函数f(x)=lnx+1x(x>0), 则f′(x)=1x-1x2,x>0, 当f′(x)=0时,x=1, 所以0 x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 即f(x)在x=1处取得最小值f(1)=1, 所以lnx≥1-1x,当x=1时等号成立, 所以ln0.9>1-10.9=-19, 于是-ln0.9<19, 即c 因为-ln0.9=ln109>1-910=110, 所以109>e0.1,0.1e0.1<19, 即a 因为0.1e0.1>0.1×1.1=0.11, 而-ln0.9=ln109<12109-910=19180 <0.11, 所以a>c, 故c 解法2先比较a与b. 设F(x)=(1-x)ex-1(0 则F′(x)=-xex<0, 所以F(x)在0 故F(x) 即(1-x)ex<1, 所以ex<11-x(0 取x=0.1,得e0.1<11-0.1=109, 所以0.1e0.1<19,即a 再比较a与c. 易知ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号, 取x=0.1,得e0.1>1.1, 所以a=0.1e0.1>0.11. 设G(x)=2lnx-x+1x(x>1), 则G′(x)=2x-1-1x2=-(x-1)2x2<0, 所以G(x)在x>1上单调递减, 故G(x) 即2lnx 取x=109,得 ln109<12109-910=19180<0.11<0.1e0.1=a, 即c 综上知,c 解法3由不等式lnx<12x-1x(x>1), 得ln109<12109-910=19180<0.11, 又因为e0.1>0.1+1=1.1, 所以a=0.1e0.1>0.11, 即c 由ex≥x+1,得e-x>-x+1(0 即ex<11-x, 所以e0.1<11-0.1=10.9, 故a=0.1e0.1<19,即a 綜上知,c 故选(C). 例2已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则() (A)c>b>a.(B)b>a>c. (C)a>b>c.(D)a>c>b. (2022年全国甲卷) 解法1设 f(x)=cosx+12x2-1(0 则f′(x)=x-sinx. 设g(x)=x-sinx(0 g′(x)=1-cosx>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增, 即g(x)>g(0)=0,f′(x)>0, 故f(x)在(0,1)单调递增, 所以f14>f(0)=0, 即cos14>3132, 故b>a. 利用三角函数线可得x∈0,π2时,tanx>x, 所以tan14>14, 即sin14cos14>14, 所以4sin14>cos14, 即c>b. 综上知,c>b>a,选(A). 解法2构造半径为4,弧长为1的扇形AOB,在扇形AOB中,∠AOB=14,|AB|<1, 所以cos14=|OA|2+|OB|2-|AB|22|OA|·|OB| >42+42-122×4×4=3132, 故b>a. 利用三角函数线可得x∈0,π2时,tanx>x, 所以tan14>14, 即sin14cos14>14, 故4sin14>cos14, 即c>b. 综上知,c>b>a,选(A). 例3已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则() (A)a>0>b.(B)a>b>0. (C)b>a>0.(D)b>0>a.(2022年全国甲卷·文) 解法1因为9m=10, 所以m=log910, 因為1=log99 所以1 构建函数f(x)=xm-(x+1)(x>1),则 f′(x)=mxm-1-1. 令f′(x)>0,得 函数f(x)的单增区间为(m11-m,+∞). 由1 所以111-m>m11-m>3211-m, 即m11-m<1, 故f(x)在(1,+∞)上单调递增, 于是有f(10)>f(9)>f(8), 即10m-11>9m-10>8m-9, 故a>0>b,选(A). 解法2因为9m=10,所以m=log910, 又lg9>0,lg11>0, 由基本不等式 lg9lg11 所以1-lg9lg11>0, 从而log910-log1011=1lg9-lg11 =1-lg9lg11lg9>0, 所以log1011 即10m>11, 故a>0. 同理b<0. 综上知,a>0>b,选(A).
———《扇形的认识》教学廖