构造法破解比较大小问题

张严田

【摘要】近几年的高考试题和模拟试题特别青睐于比较大小问题，而且此类题目普遍偏难，已经成为拉分题，这类问题的破解之策越来越受到广大师生的重视.

【关键词】构造法;大小比较

比较大小问题已经成为近几年各类模拟题和高考试题的热点考向，本文略举几例抛砖引玉，探讨其解法.

例1设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则（）

（A）a

（C）c

解法1构造函数f（x）=lnx+1x（x>0），

则f′（x）=1x-1x2，x>0，

当f′（x）=0时，x=1，

所以0

x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增，

即f（x）在x=1处取得最小值f（1）=1，

所以lnx≥1-1x，当x=1时等号成立，

所以ln0.9>1-10.9=-19，

于是-ln0.9<19，

即c

因为-ln0.9=ln109>1-910=110，

所以109>e0.1，0.1e0.1<19，

即a

因为0.1e0.1>0.1×1.1=0.11，

而-ln0.9=ln109<12109-910=19180

<0.11，

所以a>c，

故c

解法2先比较a与b.

设F（x）=（1-x）ex-1（0

则F′（x）=-xex<0，

所以F（x）在0

故F（x）

即（1-x）ex<1，

所以ex<11-x（0

取x=0.1，得e0.1<11-0.1=109，

所以0.1e0.1<19，即a

再比较a与c.

易知ex≥x+1，当且仅当x=0时取等号，

取x=0.1，得e0.1>1.1，

所以a=0.1e0.1>0.11.

设G（x）=2lnx-x+1x（x>1），

则G′（x）=2x-1-1x2=-（x-1）2x2<0，

所以G（x）在x>1上单调递减，

故G（x）1），

即2lnx1）.

取x=109，得

ln109<12109-910=19180<0.11<0.1e0.1=a，

即c

综上知，c

解法3由不等式lnx<12x-1x（x>1），

得ln109<12109-910=19180<0.11，

又因为e0.1>0.1+1=1.1，

所以a=0.1e0.1>0.11，

即c

由ex≥x+1，得e-x>-x+1（0

即ex<11-x，

所以e0.1<11-0.1=10.9，

故a=0.1e0.1<19，即a

綜上知，c

故选（C）.

例2已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，则（）

（A）c>b>a.（B）b>a>c.

（C）a>b>c.（D）a>c>b.

（2022年全国甲卷）

解法1设

f（x）=cosx+12x2-1（0

则f′（x）=x-sinx.

设g（x）=x-sinx（0

g′（x）=1-cosx>0，

所以g（x）在（0，1）上单调递增，

即g（x）>g（0）=0，f′（x）>0，

故f（x）在（0，1）单调递增，

所以f14>f（0）=0，

即cos14>3132，

故b>a.

利用三角函数线可得x∈0，π2时，tanx>x，

所以tan14>14，

即sin14cos14>14，

所以4sin14>cos14，

即c>b.

综上知，c>b>a，选（A）.

解法2构造半径为4，弧长为1的扇形AOB，在扇形AOB中，∠AOB=14，|AB|<1，

所以cos14=|OA|2+|OB|2-|AB|22|OA|·|OB|

>42+42-122×4×4=3132，

故b>a.

利用三角函数线可得x∈0，π2时，tanx>x，

所以tan14>14，

即sin14cos14>14，

故4sin14>cos14，

即c>b.

综上知，c>b>a，选（A）.

例3已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，则（）

（A）a>0>b.（B）a>b>0.

（C）b>a>0.（D）b>0>a.（2022年全国甲卷·文）

解法1因为9m=10，

所以m=log910，

因為1=log99

所以1

构建函数f（x）=xm-（x+1）（x>1），则

f′（x）=mxm-1-1.

令f′（x）>0，得

函数f（x）的单增区间为（m11-m，+∞）.

由1

所以111-m>m11-m>3211-m，

即m11-m<1，

故f（x）在（1，+∞）上单调递增，

于是有f（10）>f（9）>f（8），

即10m-11>9m-10>8m-9，

故a>0>b，选（A）.

解法2因为9m=10，所以m=log910，

又lg9>0，lg11>0，

由基本不等式

lg9lg11

所以1-lg9lg11>0，

从而log910-log1011=1lg9-lg11

=1-lg9lg11lg9>0，

所以log1011

即10m>11，

故a>0.

同理b<0.

综上知，a>0>b，选（A）.