一题多解 提升数学素养

李发光

【摘要】一题多解的训练可以激发学生对数学学习的兴趣与信心，一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解法，这有利于拓宽解题思路，提高学生分析问题的能力，有助于学生发散思维的形成，增强学生创造意识.

【关键词】一题多解;思维能力;核心素养

一直以来，数学核心素养被视为衡量数学教育质量的主要标准.随着我国教育模式的改革和发展，对学生核心素养的培养更是新课标中的重要要求之一.那么，如何在课堂教学中培养学生的数学素养？一题多解的训练可以有效地培养数学素养.下面我们选取一道函数不等式的证明问题，采用一题多解的教学方式来谈谈怎样提升数学素养，让学生学会多向思维，学会克服思维定式，寻找多种解题方向，引领学生思维发展，形成良好的思维习惯，培养思维能力.

试题呈现 已知函数f（x）=ex-ae2x，当a<0时，证明：f（x）>e2lnx.

证明 方法一  要证明ex-ae2x>e2lnx.

因为a<0，所以ae2x<0，

只需证ex>e2lnx，即只需证ex-e2lnx>0.

设g（x）=ex-e2lnx，

则g′（x）=ex-e2x，g″（x）=ex+e2x2>0，

所以函数y=g′（x）在（0，+∞）上是增函数.

又因为g′（1）=e-e2<0，

g′（2）=e2-e22=e22>0，

所以存在唯一的x0∈（1，2），

使得g′（x0）=ex0-e2x0=0，

即ex0=e2x0，lnx0=-x0+2，

所以当x∈（0，x0）时，g′（x）<0，

当x∈（x0，+∞）时，g′（x）>0，

所以函数g（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，

因此函数g（x）有最小值，

最小值为g（x0）=ex0-e2lnx0=e2x0-e2·（-x0+2）=e2x0+e2x0-2e2>2e2-2e2=0，

因此g（x）>0，即ex-e2lnx>0，

综上所述，当a<0时，f（x）>e2lnx.

点评 方法一利用参数a的取值范围进行放缩，利用差值函数法证明形如f（x）>g（x）的不等式，主要步骤是：

（1）构造新函数h（x）=f（x）-g（x）;

（2）利用导数研究新函数h（x）的单调性、最值.但对函数h（x）求导后，若h′（x）=0是超越形式，人工无法求其零点，但通过零点存在定理可以证明零点是存在的，我们便称之为隐零点，利用隐零点是证明不等式的一种重要手段;

（3）通过h′（x）或h′′（x），得到h（x）的性质，从而实现证明不等式f（x）>g（x）.

方法二 要证明ex-ae2x>e2lnx，只要证exx-ae2>e2lnxx，

设g（x）=exx-ae2（x>0），

则g′（x）=（x-1）exx2，

当x∈（0，1）时，g′（x）<0，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）>0，

所以函数g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

因此函数g（x）有最小值，

当x=1时，取得最小值，最小值为g（1）=e-ae.

设h（x）=e2lnxx（x>0），

则h′（x）=e2（1-lnx）x2，

当x∈（0，e）时，h′（x）>0，

当x∈（e，+∞）时，h′（x）<0，

所以函数h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，

因此函数h（x）有最大值，

当x=e时，取得最大值，最大值为h（e）=e.

因为a<0，所以g（1）=e-ae>h（e）=e，所以g（x）>h（x），

综上所述，当a<0时，f（x）>e2lnx.

点评 方法二利用“一分为二”的思想，在证明不等式f（x）>0（或f（x）<0）时，将原不等式分解为g（x）>h（x）（或g（x）h（x）max（或g（x）max

方法三 要证明ex-ae2x>e2lnx.

因为a<0，所以ae2x<0，

只需证ex>e2lnx，即只需證ex-2-lnx>0.

设函数g（x）=ex-（x+1），则g′（x）=ex-1，

当x∈（-∞，0）时，g′（x）<0，

当x∈（0，+∞）时，g′（x）>0.

所以函数g（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，

因此函数g（x）有最小值，

当x=0时，取得最小值，最小值为g（0）=0，

所以g（x）=ex-（x+1）≥0，

即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立.

因此当x>0时，ex-2≥x-1，当且仅当x=2时等号成立.

设函数h（x）=lnx-（x-1），则h′（x）=1x-1，

当x∈（0，1）时，h′（x）>0，

当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0

所以函数h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，

因此函数h（x）有最大值，当x=1时，取得最大值，最大值为h（1）=0，

所以h（x）=lnx-（x-1）≤0，

即lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立.

所以ex-2-lnx>（x-1）-（x-1）=0，

综上所述，当a<0时，f（x）>e2lnx.

点评 方法三利用”放缩法”证明不等式， “放缩”指的是将不等式的一侧放大或缩小，将不等式的结构优化为合理的结构，然后获得解决.放缩的依据是几个常用的不等式：ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立;lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，sinx≤x（x≥0）当且仅当x=0时等号成立等.

方法四 要证明ex-ae2x>e2lnx.

因为a<0，所以ae2x<0，

只需证ex>e2lnx，即只需证ex-e2lnx>0.

设g（x）=ex-e2lnx=（ex-e2x+e2）+（e2x-e2-e2lnx），

令h（x）=ex-e2x+e2（x>0），则

h′（x）=ex-e2

当x∈（0，2）时，h′（x）<0，

当x∈（2，+∞）时，h′（x）>0

所以函数h（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，

因此函数h（x）有最小值，

当x=2时，取得最小值，最小值为h（2）=0.

令u（x）=e2x-e2-e2lnx，则u′（x）=e2-e2x.

当x∈（0，1）时，u′（x）<0，

当x∈（1，+∞）时，u′（x）>0

所以函数u（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

因此函数u（x）有最小值，

当x=1时，取得最小值，最小值为u（1）=0.

综上，h（x）≥0，当且仅当x=2时等号成立，

u（x）≥0，当且仅当x=1时等号成立，

所以g（x）=h（x）+u（x）>0，

因此，当a<0时，f（x）>e2lnx.

点评 方法四利用了“异构”的思想，“异构”是指一个恒成立化为多个恒成立问题，异构的关键是拆分配对组合需要较高的变现技巧，此类问题可以用凹凸反转，必要性探路，或常规方法构造函数分类讨论来解答.

结语

总之，一题多解的教学模式确实是一种有效的提高數学素养的途径.通过对题目的全方位分析，寻求多种解题策略，是一种知识到能力的演变，是学生思维质量的升华.

参考文献：

[1]姜娜，高中数学“一题多解” 教学的反思[J]，数理化解题研究，2021（01）：64-64.

[2]俞菊秀，借助“一题多解”渗透数学核心素养[J]，数理化解题研究，2022（05）：8-10.

[3]何雪冰，基于核心素养的“一题多解”教学思考[J]，中学数学研究，2021（06）：13-16.