脉冲微分系统的等度积分φ0－稳定

王培光，刘晓静

（1.河北大学 电子信息工程学院，河北 保定 071002；2.河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

本文利用锥值Lyapunov函数和比较方法讨论了如下脉冲微分系统零解的积分φ0 －稳定性：

和它的扰动系统

其中f，h∈PC［R＋×S（ρ），Rn］，Ik，Mk∈C［S（ρ），Rn］，f（t，0）＝h（t，0）＝Ik（t，0）＝Mk（t，0）≡0，0≤t0＜t1＜t2＜…＜tk…，limk→∞tk＝∞，k＝1，2，….

近年来积分稳定性理论得到了快速发展［1－6］，但是，到目前为止关于积分φ0 －稳定性的研究并不多见［7－9］.本文主要讨论了脉冲微分系统零解的等度积分φ0 －稳定性.

1 预备知识

定义1 Rn中的子集K 称为锥，如果满足如下条件：（i）λK⊆K，λ≥0；（ii）K＋K⊆K；（iii）K＝（iv）K0≠Φ；（v）K∩（－K）＝0，其中，K0及∂K 分别表示K 的闭包，内部和边界.

定义2 称集合K＊＝｛φ0：φ0∈Rn，对任意x∈K，（φ0，x）≥0｝为K 的伴随锥，如果K＊满足定义1中条件（i）－（v）.

通过以上定义可得x∈∂K 当且仅当存在φ∈K＊0，K0＝K－｛0｝，（φ，x）＝0.

为方便起见，给出如下函数类：

S（ρ）＝｛x∈K：‖x‖＜ρ，ρ＞0｝.

K＝｛b∈C［［0，ρ），R＋］，b（0）＝0，且b（r）关于r是严格递增的｝.

PC＝｛f：R＋×S（ρ）→Rn在区间（tk，tk＋1］×Rn上连续，且极限存在｝.

下面利用比较方法研究脉冲微分系统零解的等度积分φ0 －稳定性准则.为此，考虑如下比较脉冲微分方程

和它的扰动微分方程

其中g∈PC［R＋×R＋，R＋］，p（t）∈PC［R＋，R＋］，Jk，Nk∈C［R＋，R＋］，R＋＝［0，＋∞），g（t，0）＝Jk（t，0）≡0，0≤t0＜t1＜t2＜…＜tk…，limk→∞tk＝∞，k＝1，2，….

下面给出函数类V0的定义：

V0＝｛V（t，x）∈PC［R＋×S（ρ），K］：V 在（tk，tk＋1］×S（ρ）上连续2，…，V（t，x）对任意的t关于x 满足局部Lipshitzian条件｝.

定义3 设V∈V0，定义

定义4 称系统（1）的零解

（IS1）是等度积分φ0 －稳定的，如果对任意α≥0，t0∈R＋，存在函数β（t0，α）≥0，其中β在t0上是连续的，α，β∈K，使得当φ0∈，（φ0，x0）≤α，T＞0.

有（φ0，x＊（t））＜β，其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）是系统（2）的右行最大解.

（IS2）是一致积分φ0 －稳定的，如果（IS1）中的α，β都与t0无关.

（IS3）是φ0 －吸引的，如果对任意的ε＞0，α≥0，t0∈R＋，存在函数β（t0，α）≥0，其中β在t0上是连续的，T＝T（t0，α，ε），γ＝γ（t0，α，ε），使得当φ0∈K＊0，（φ0，x0）≤α，T＞0，

有（φ0，x＊（t））＜ε，t≥t0＋T，其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）是系统（2）的右行最大解.

（IS4）是一致φ0 －吸引的，如果（IS3）中的T，γ都与t0无关.

（IS5）是等度渐近积分φ0 －稳定的，如果（IS1），（IS3）都成立.

（IS6）一致渐近等度积分φ0 －稳定的，如果（IS2），（IS4）都成立.

注1 称系统（3）的零解是等度积分稳定的，如果对任意α≥0，t0∈R＋，存在t0上连续的函数β（t0，α）≥0，α，β∈K，使得当‖x0‖≤α，T＞0，

有‖x（t）‖＜β，t≥t0，其中x（t）＝x（t，t0，x0）是系统（4）的解.其他积分稳定定义可以类似给出，不再赘述.

为得到主要结果，可有如下引理.

引理1 令φ0∈，V∈V0，g∈PC（R＋×R＋，R＋），Jk（x）是单调非减的，若下列条件成立：

（L1）D＋（φ0，V（t，x））≤g（t，（φ0，V（t，x）））， t≠tk，

（L2）（φ0，V（t＋，x＋Ik（x）））≤Jk（φ0，V（t，x））， t＝tk，

（L3）（φ0，V（t0，x0））≤u0， k＝1，2…，

则（φ0，V（t，x（t）））≤u＊（t），t≥t0，其中u＊是系统（4）的右行最大解.

证明：令m（t）＝（φ0，V（t，x）），因为m（t0）≤u0，通过第二比较定理［10］，有

又由Jk（x）单调非减及引理1（L2），条件（5）得

可得m（t）≤u＊（t），t0≤t≤t2.

由数学归纳法知

2 主要结果

定理1 假设V（t，x）∈V0，引理1的所有条件都成立并且满足下列条件：

则系统（3）零解的等度积分稳定蕴含系统（1）零解的等度积分φ0 －稳定.

证明：因为系统（3）的零解是等度积分稳定的，则对α≥0，t0∈R＋，存在β（t0，α）≥0，α，β∈K，使得当T＞0，

其中u＊（t）＝u＊（t，t0，u0）是系统（4）的右行最大解.

令‖h（t，x＊）‖＝M1p（t），‖Mk（x＊）‖＝M2Nk（u），其中M1，M2＞0为常数，u0＝（φ0，V（t0，x0）），φ0∈，因此

其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）为系统（2）的右行最大解.

由引理1知

由引理1的条件（L1）和定理1的条件（H2）可得

对φ0∈，由式（9），（10）得

因此通过条件（H1）和不等式（7），（11）得

令α＊＝min｛α，M1α，M2α｝，当T＞0，

有（φ0，x＊）＜β＊.因此系统（1）的零解是等度积分φ0 －稳定的.

定理2 假设V（t，x）∈V0，引理1的所有条件都成立，定理1的条件（H2）成立，φ0∈K＊0，（t，x）∈R＋×S（ρ），且还满足下列条件：

（H3）a（（φ0，x））≤（φ0，V（t，x）），a－1（q）＝q，a∈K，

（H4）b（‖x‖）≤（φ0，V（t，x）），b∈K，

则系统（3）零解的等度渐近积分稳定蕴含系统（1）零解的等度渐近积分φ0 －稳定.

证明：因为（H3）蕴含（H1），系统（3）的零解是等度渐近积分稳定的，首先，由定理1知系统（1）的零解是积分φ0 －稳定的.其次，系统（3）的零解是吸引的，对ε＞0，t0∈R＋，存在

α＝α（t0）＞0，T＝T（t0，ε）＞0，γ＝γ（t0，α，ε），

使得当u0≤α，

其中u＊（t）＝u＊（t，t0，u0）是系统（4）的右行最大解.

当（φ0，V（t0，x0））≤u0时，有‖x‖→0（t→∞）.

假设上式不成立，则存在一个序列｛t（n）｝，t（n）≥t0＋T，使得当t（n）→0（t→∞）时，有

由引理1得

由（H4），式（12），（13），（14）得

b（ε）≤b（‖x（t（n））‖）≤（φ0，V（t（n），x（t（n），t0，x0））≤u＊（t（n），t0，u0）＜b（ε），

产生矛盾，因此‖x‖→0（t→∞），从而有（φ0，x）→0（t→∞）.

令‖h（t，x＊）‖＝N1p（t），‖Mk（x＊）‖＝N2Nk（u），其中N1，N2＞0为常数，因此

其中x＊（t）＝x＊（t，t0，x0）是系统（2）的右行最大解.

令γ＊＝min｛N1γ，N2γ｝，当T＞0，

时，有（φ0，x＊）＜ε.因此系统（1）的零解是等度渐近积分φ0 －稳定的.

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