随机变量的特征函数在概率论中的应用

白伟华

(韶关学院 韶州师范分院数学系，广东 韶关512009)

0 引言

在概率论中，随机变量的分布函数刻画了随机变量的统计规律。但有时分布函数或概率密度这些工具使用起来并不方便，如计算独立随机变量和分布的概率密度，用卷积求很麻烦，过于复杂，通过数字特征并不能完全反映出随机变量的分布规律，但确定它的特征函数比较容易。由于分布函数和特征函数之间有一一对应关系，在得知特征函数后就可知道分布函数。经过不断探索与研究，发现特征函数是处理许多概率论问题的有力工具。

1 有关概念及结论

现将本研究中涉及的有关概念及结论列举如下，不予证明，详见(1)(2)。

1.1 特征函数的定义

设x是随机变量，称复随机变量eitx=costx+isintx的数学期望。

fx(t)=E(eitx)=E(costx)+iE(sintx)，-∞

(1)

为x的特征函数。

因为对任何实数t，E|costx|≤1,E|sintx|≤1, 所以fx(t)对一切实数有定义，即任一随机变量的特征函数总是存在的。

当离散型随机变量x的分布律为：pk=p(x=xk),k=1,2,…

则x的特征函数：

(2)

当连续型随机变量x的概率密度函数为p(x)， 则x的特征函数：

(3)

1.2 特征函数的性质

①fx(o)=1, |fx(t)|≤1 -∞

③设y=ax+b，其中a，b是常数，则fy(t)=eitbfx(at)

④设x，y独立，则fx+y(t)=fx(t)·fy(t)

1.3 特征函数的唯一性定理

若x是连续型随机变量，其概率密度函数为p(x)，有特征函数fx(t)，则有

1.4 特征函数的逆转公式

设随机变量x的分布函数为F(x)，有特征函数f(t)，x1与x2为F(x)的任意两个连续点，则有

2 特征函数的应用

2.1 求随机变量的分布

例2：试证f(t)=cost为一特征函数，并求它所对应的随机变量x的分布。

2.2 求随机变量的数字特征

例3：设随机变量x服从参数为α,β的Γ分布，求其数学期望和方差。

且iE(x)=f′(0),i2E(x2)=f″(0);

2.3 求独立随机变量和的分布

由于分布函数和特征函数之间有一一对应的关系，从而知：

例5：设x1,x2和x3是相互独立的,且服从正态分布N(0,1)，试求随机变量Y1=x1+x2和Y2=x1+x3组成的(Y1，Y2)的分布。

解：(Y1，Y2)=(x1+x2,x1+x3)

∵xi～N(0,1),i=1,2,3,

∴(x1,x2,x3)～N(0,E3),

从以上5个例子可以看出，有些概率问题利用分布函数很难给出证明，即使能给出证明也很麻烦，而利用特征函数及其导数性质便可很巧妙地给出证明，这充分说明了注重知识的内在联系是很重要的。