以几何直观推动深度学习，有效发展学生数学思维

李巧仪

[摘  要] “几何直观”是《小学数学课程标准（2011）》中提出的十大核心概念之一，几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。文章将从“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”以及“综合与应用”四个部分举例说明借助几何直观将抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合，充分展现问题的本质，突破数学理解上的难点，从而推动课堂深度学习。

[关键词] 几何直观;深度学习;数学思想;数学思维

小学数学教学内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践四个部分。对学生几何直观的培养不应该只局限于图形与几何部分，而应该涵盖所有的数学教学领域。因此在教学过程中，教师应善于发现适合使用几何直观探究的数学问题，对学生做出积极的引导，激发学生积极主动地探究知识，推动数学课堂深度学习。

一、借助几何直观感受问题本质，在数与代数的教学中发展数学思维

小学阶段的数与代部分占据了整个学段50%的内容，因此教师应重视引导学生对该部分知识的分析和理解。利用几何直观把抽象的概念和算理以直观的图形呈现出来，这样可以全面、完整地诠释知识的产生原因、过程和结果，促进学生数学思维的发展。

例如，在“分数的意义”的教学中，教学难点在于认识单位“1”，突破把一件物品看成单位“1”的思维定式，能够把多样物品看作一个整体，即看作单位“1”。在教学过程中，教师要求学生画图表示1/4。学生根据已有的知识经验，很容易就能在练习本上画出多种以一个图形为单位“1”的图画，并通过平均分和涂色表示出1/4。也就是说，把一个图形看成整体，平均分成4份，每份就是整体的1/4。其实我们可以还把4个相同的图形看成整体，其中一个小的图形就是这些图形的1/4。学生通过观察总结，发现整体不一定是一个物体。有的学生也能发现只要把一些相同的物体平均分成4份，其中的一份就能表示1/4。在这里，借助几何直观画图分析，把分数的意义非常直观地呈现出来，也就是把单位“1”平均分成若干份取其中的一份或几份，可以用分数表示。

分数是如何产生的？问题的实质就是要找准单位“1”。师生通过反复地画图和分析，使学生不断地从“分数的初步认识”的旧知识的认知延伸到新知识，即把一个物体或一些物体看作单位“1”，从而明白了分数的产生过程和意义。学生从“画图”到“看图”，既能用图形表达自己对1/4的认识，又能直观地感受和认识单位“1”，轻松突破课程难点。这个过程培养了学生的推理思想、数形结合思想等，有效促进了学生数学思想的发展。

二、借助几何直观探究面积公式，在图形与几何的教学中发展数学思维

图形与几何是小学数学教学的重要部分，它对于小学生的立体空间结构概念的树立和严谨的逻辑思维能力的培养有着非常重要的影响。几何知识从概念上来说是比较抽象的，但从实际应用上来说，它又是比较具体的。因此，在实际教学时，我们应借助几何直观，通过真实、具体、形象的几何图形来辅助学生理解和分析。

例如，在“平行四边形的面积”中，教师引导学生借助几何直观通过不同的方式探究平行四边形的面积。

生1：我画格子时感受到长方形和平行四边形都有一组6米的边，我就在想它们的面积也很可能相等，但是平行四边形的另一组边的长度肯定比长方形的宽要长，所以就想办法找找其他的关系，结果我发现如果以6米的边为底，所对应的高和长方形的宽都是4米。

生2：由于平行四边形的底和高分别与长方形的长和宽相等，并且它们的面积也相等，所以通过对比，我们得出的结论是平行四边形的面积=底×高。

（学习小组展示、汇报。）

生：我们都可以把一个平行四边形转变成一个面积不变的长方形。转化所得的长方形的长其实就相当于平行四边形的底，长方形的宽就相当于平行四边形的高。因此，平行四边形的面积=底×高。

在对平行四边形的面积的探究过程中，教师引领学生运用几何直观把新知识转化为旧知识，不管是通过数格子得出了长方形与平行四边形的关系再推理出平行四边形的面积公式，还是通过割补法把平行四边形转化成长方形后经过对比得出平行四边形的面积公式，学生运用几何直观探究问题的能力都得到了培养和体现。这样的教学过程发展了学生的归纳推理思想、转化思想、几何变换思想等，有效地发展了学生的数学思维。

三、借助几何直观培养统计思想，在统计与概率的教学中发展数学思维

小学数学统计与概率部分的内容，要求学生在信息化社会的背景下掌握统计的方法，可以根据统计图总结经验或做出预案，培养学生的统计思想。因此，在统计部分需要大量的统计图来帮助学生理解和掌握统计的知识与技能，感受数学与生活的联系，调动学生学习的积极性并发展其数学思维。

在教学过程中，教师出示表格并提问：2006至2012年哪一年的参赛队伍最多，哪一年的参赛队伍最少？（教师出示表格）

生：我可以利用数据进行比较得出2012年的参赛队伍最多，2007年的参赛队伍最少。

师：同学们，如果我把表格中的数据用条形统计图展示出来，你们觉得怎样？

生1：我能马上分辨出参赛队伍最多的年份是2012年，参赛队伍最少的年份是2007年。

生2：我觉得很方便，我们只需要根据每个条形图的高低就能直观地判断数据的大小。

师：如果我把表格中的数据用折线统计图展示出来，你们觉得怎样？

生1：我可以很直观地发现参赛队伍的数量在2006年至2007年以及2008年和2009年呈下降趋势，其他年份都呈上升趋势。

生2：我还发现从2009年起参赛队伍的数量一直呈上升趋势，我估计2013年參赛队伍的数量应该比2012年多。

师：通过统计图，我们可以把复杂的、无序的数据整理成一幅幅清晰直观的统计图，这样可以帮助我们分析问题、总结规律、预测结果等。

在课程的教学中，教师让学生从利用表格数据分析问题到观察统计图分析问题，借助几何直观让学生感受到统计图系统、直观的优点。通过统计图，学生可以更轻易地找出数据之间的联系，甚至可以联想到未展示出来的数据。不管是利用条形统计图找出数据之间的大小关系还是利用折线统计图分析数据的变化趋势，都培养了学生的统计思想和数据分析的能力，促进其数学思维的发展。

四、借助几何直观建构数学模型，在综合与实践的教学中发展数学思维

课程改革后，小学数学设置了综合与实践部分，要求学生以现实生活为背景，以问题为载体，把数学与生活实际相联系，解决生活中的一些特定问题。由于学生缺乏生活经验，难以做到学科与学科之间以及生活与生活之间的联系，常常无法建构出解决一类问题的数学模型。在这里，借助几何直观就显得尤为重要，几何直观可以把这些抽象的数学语言以及陌生的数学问题转化成具体而易懂的数学图形，帮助学生理解问题，从而顺利建构出对应的数学模型。

例如，在“植树问题”一课中，教学重难点在于学生能理解棵数与间隔数成一一对应关系并建构出植树问题的模型。在教学过程中，教师创设问题：在长100米的马路的一边栽树，每5米栽一棵，要栽多少棵？

师：画一画这100米的马路到底该如何栽树？

生1：先在马路的一端栽上一棵树，然后空一个间隔，栽上一棵树，再空一个间隔，栽上一棵树……就这样栽完20棵后再补上末端的一棵，所以就要栽21棵树。

生2：我根据每5米栽一棵树，用马路总长除以间隔距离，可以把马路平均分成20个间隔，因为一棵树后面就连着一个间隔，所以就种20棵树，但是在末端不再有对应的间隔了，所以只需要加上1棵树。

列式：100÷5=20（個），棵数为20+1=21（棵）。

师：通过画图我们知道一棵树后面就连着一个间隔，也就是说棵数和间隔数成一一对应的关系。

师：你们能总结一下怎么求两端都栽这一类植树问题的棵数吗？

生：间隔数=马路总长÷间隔距离;棵数=间隔数+1。

在本课程的教学中，学生通过画图分析，得出棵数与间隔数成一一对应关系，这就是植树问题的核心。在借助几何直观分析植树问题时，教师善于发现学生不同的想法，不断地凸显问题本质，引导学生顺利地建构数学模型。这样的教学培养了学生的数形结合思想、建模思想、化繁为简思想等，促进了学生数学思维的发展。

总之，为了使学生能够直观地理解数学问题，在借助几何直观剖析问题本质、突破知识重难点时，教师应更多地指导学生以自主探究为主要模式，突出学生的主体地位。在借助几何直观探究问题的过程中，学生必须经历借助画图、观察图形或图像、割补图形等过程，从而把抽象的数学语言与直观的图形语言相结合，进而通过归纳推理出一类问题的本质并建构相对应的数学模型，达到轻松突破知识难点，促进数学思维发展的教学效果。