核心素养视角下数学运算能力的提升策略

闫辉 朱海燕

[摘  要] 高中数学运算能力是高中数学核心内容之一. 文章以“直线与椭圆位置关系”的教学为例，分别从多种解题运算思路、深入浅出的运算方法以及针对高考设计元算程序等方面为提升学生的运算能力提供了具体策略.

[关键词] 高中数学;运算能力;核心素养

数学运算是数学最重要的核心素养之一，是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果. 数学运算是解决数学问题的基本手段，在高考试题中，圆锥曲线问题是运算的典型题型. 尤其是直线与椭圆位置关系问题是江苏高考的重点和难点，其考查重点就在于检验学生逻辑推理能力和运算求解能力. 笔者在连云港市青蓝工程展示活动中上了一节微专题“直线与椭圆的位置关系”，本文以这节展示课为例谈谈数学运算的提升策略问题.

结合“一题多解”掌握运算法则，探究运算思路

课例1：如图1，已知椭圆 +y2=1，过焦点F且斜率为 的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB的长为多少？

師：请问同学们有哪些求解线段长度的方法？

（由于课例1设置难度较低，学生们的反应比较热烈）

生：有两种方法，方法1是用两点间的距离公式，设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB= ;方法2是用弦长公式，由两点间的距离公式转化而来，设直线AB的方程为y=kx+b，则AB= = x2-x1=  ，将y= （x-1）代入椭圆方程 +y2=1，解之得x1+x2= ，x1·x2= ，故AB= .

师：以上用的方法具有一般性，但是同学们看看这个题目的直线自身还具有什么特点？

生：直线AB过焦点F.

师：题目的特点往往是题目的切入点，如何运用这个特点解题呢？

生：我想可以用焦半径公式：FA=a-ex1，FB=a-ex2. 因为F，A，B三点共线，所以AB=2a-e（x1+x2）= ，这样就简化了运算.

师：很好，同学们很聪明，除此之外，作为理科班同学，我们能否在此基础上进一步拓展解题的思路呢？比如在直线的方程还可以怎么表示？请同学们讨论一下.

（学生一时陷入沉默，不久就有学生开始小声讨论，终于有一位学生想到了参数方程，大声说出了自己的想法）

生：因为直线过定点，并且要求弦长，可以用直线的参数方程来求！设x=1+tcos ，y=1+tsin ，把其代入椭圆方程 +y2=1，求出t1，t2，得到AB=t1-t2= .

师：经过同学们的讨论，我们得到了求解弦长的一般方法和依据直线本身特点的特殊方法，在解决问题时要根据具体问题具体分析，以便更有效地解决问题.

设计意图：从简单具体的实例中，学生更容易探究运算思路，在题目中设计了直线过焦点，使得题目既有特殊性又有一般性，由此产生解题思路的变化. 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能理解数学知识之间的联系，建构知识框架.

利用由浅入深题目合理选择运算方法

课例2：如图2，已知椭圆 +y2=1，过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，试求线段AB的长度有哪些方法？

师：请同学讨论一下，上例中哪些方法在此例中可以继续使用？

生：好像都可以使用.

师：你能评价不同方法的优缺点吗？

生：方法1需要求出点的坐标，运算难度较大;方法2只需求出点的横坐标，运算难度较低;方法3进一步利用了直线的特殊性，运算难度进一步降低;方法4用倾斜角表示弦长，方法也比较容易.

师：这位同学分析得非常精辟. 方法4用倾斜角表示弦长，虽然方法并不复杂，但是在高考实际运算中并不利于进一步求解. 当直线不经过焦点时，方法2弦长公式往往是计算弦长的首要选择.下面请同学们动手做一下这道题.

生1上来板演：

当AB⊥x轴时，AB= .

当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

将AB的方程代入椭圆方程，

得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，

则x1，2= ，

且AB= = = .

师：这位同学用弦长公式解得了这题答案，其他方法请同学们课后尝试.

设计意图：在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力;能够通过运算促进数学思维发展;在课例2中，直线由课例1中的定直线变为了绕着焦点旋转的动直线，那么在课例1掌握的运算方法是否可以迁移应用值得学生思考，在运算方法的合理选择上也出现了困难，在这个波折过程中，学生获得了运算心得.

针对高考题型设计运算程序，求得运算结果

课例3：（2015年江苏高考试卷第18题改）已知椭圆 +y2=1，过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交左准线和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

师：与问题2相比，高考题多了哪些环节？

生：多了两个环节，一是需要求线段PC的长，二是需要计算方程PC=2AB.

师：请同学们讨论一下PC的长度如何求解.

生：两点间的距离公式，求出AB的中点C的坐标，根据AB与PC的垂直关系，写出PC的直线方程，由此求出P点的坐标，最后用两点间的距离公式求出PC的长度.

师：这个运算方法虽然可行，但是运算过程比较复杂，请问能否使用弦长公式求解？

生：恐怕不能，因为弦长公式是直线与圆锥曲线相交弦的长度.

师：那好，我们来看看在弦长公式推理中用没用到圆锥曲线方程：

AB= = ·x2-x1=  .

生：没有用到，可以使用.

师：如果运用弦长公式，我们只需要求哪个坐标就可以了？

生：C点的横坐标和P点的横坐标，利用前面的结论和韦达定理，比较容易求出，方法简便多了.

师：很好，请同学完成最后的运算.

生2上来板演：

当AB⊥x轴时，AB= ，又CP=3，不合题意.

当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）.

将AB的方程代入椭圆方程，

得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，

则x1，2= ，点C的坐标为 ， .

若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意，从而k≠0.

点P的横坐标为-2，

从而PC=  +2.

因为PC=2AB，

所以 = ，解得k=±1.

此时直线AB的方程为y=x-1或y= -x+1.

设计意图：化归转化是高中阶段最重要四种思想方法之一，化归转化是将一个问题由难化易、由繁化简、由复杂化简单的过程. 与课例2相比较，课例3中出现了PC线段长度求解问题，学生在运算选择上倾向于两点间的距离公式，这就涉及求PC的直线方程问题，无疑增加了运算的难度.这个选择是因为学生不清楚弦长公式的一般性，还是把弦长公式当作是相交弦情况下才能使用的结论. 通过这个课例，学生修正了运算程序. 最后通过复杂的运算求得PC=2AB的结果.

课堂小结

师：通过对本节课的学习，你有哪些收获呢？

经过讨论，师生共同总结如下：

（1）弦长公式是直线上任意两点间距离一般性结论;

（2）弦长的求解方法，除了两点间距离公式、弦长公式之外，还因为过焦点的特殊性，有焦半径公式和参数方程法;

（3）高考命题在运算方法和运算程序上的选择上需要精打细算，不能盲目求解，算中有巧，巧中有据.

本节课设计目标：本节课从特殊的试题出发，针对定直線总结出解决求解弦长的不同方法，既有对一般方法的掌握也有对焦点弦特殊性的运用，丰富了学生解题的视角，提升了运算的能力. 接着把定直线问题转化为动直线问题，进一步揭示了运算方法选择的合理性，逐步提升学生对数学运算的理解. 最后结合江苏省高考题升华了学生对弦长公式的理解，学生思维上经历了由特殊直线到一般直线，由静到动，由特殊弦长到一般弦长的运算，通过比较、归纳和总结增强了对运算策略的理解和提升.