一道压轴题两种解法的教学过程剖析

苏代辉

摘 要：核心素养的提出为新高考改革指明了方向.本文通过一道湖北八校联考压轴题的教学过程，全面展示实际教学中真实问题驱动、任务设计、合作解决问题、讨论总结表达成果等关键环节的细节.希望在促进学生数学核心素养发展方面，为一线教学提供一定参考.

关键词：核心素养;解三角形;教学展示

题目呈现：已知△ABC的面积为2+1，且满足

4tan A+3tan B=1，则边AC的最小值为.

方法一

题感：这道题求解最值，题目条件言简意赅，如何寻找突破口？

策略分析：高中阶段求解最值问题，主要两个方向：一是借助不等式;二是借助函数.具体选择哪一个因题而异，有时也交并使用.一般是先将题目条件化成一个包含所求量的等式，然后根据等式的结构用不等式先进行尝试，要注意恒等变形、系数配凑、目标逐步调整及取等条件等技巧问题;不等式使用有限制，操作有困难时，也可以将题目所求的量转成关于某个变量的角或者是边的函数，注意分式齐次型化多元为单元，分离变量求导，根式有理化、方程对偶构造等技巧，最终通过研究函数的单调性求解最值，得到问题的解.

三角形有九个元素，三个顶点、三条边、三个角.解三角形的主要出发点是依托三角形使用正弦定理与余弦定理.边化角、角化边或者边角互化的灵活处理是关键.一般先使用正弦定理边化角，根据条件再借助余弦定理角化边.探究过程中，要善于借助平面向量刻画平面上的点、线位置关系及边长、角度大小关系.

任务分配：学生先自己尝试，再交流讨论.

首先想到的是高中阶段的重要题型：“切的和，切的积就寻找和的切”的思路.由题目条件

4tan A+3tan B=1

得到

4tan A+3tan B=

4tan B+3tan Atan Atan B=1

，但正切前面的系数不一样，发现化简不下去.

再次尝试利用正弦定理、余弦定理边角互化.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据题目条件由切化弦，即将

4tan A+3tan B=1

转化得到4cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B.

如何根据得到的条件化简，在这里遇到到一个分歧.不同侧重的思路，尝试方式不同，最终结果当然各异.

方向一：侧重直接计算的尝试，一般会用正弦定理、余弦定理化角为边.展示如下：

4cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B4bcos A+3acos B=asin B

4bb2+c2-a22bc+3aa2+c2-b22ac=asin B

7c2+b2-a22c=asin B

7c2+b2-a2=2acsin B=4S=4+42.

这个尝试虽然操作快捷，同时得到一个三边长的关系，但是由于问题是求b的最小值，这种处理没有达到化归，消元的目的，继续下去还是有不小的困难.

方向二：侧重先简化等式，一边化简，一边突破的尝试.

一般先观察条件，配凑系数3，三角恒等变形合成A，B两角和的正弦，再根据三角形的内角和为π，化 A+ B为C.展示过程如下：

4cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B

3cos Asin B+3cos Bsin A=sin Asin B-cos Asin B

3sin（A+B）=sin Asin B-cos Asin B.

因为A+B+C=π，所以sin（A+B）=sin（π- C）=  sin C ，所以3sin C=sin B（sin A-cos A）.

再由正弦定理可知：

bsin B=csin C，所以有

3c=  b（sin A -cos A）.

這个尝试虽然也没有直接解决问题，但表达式得到了一定程度的简化.直觉上方向应该是正确的，依然需要结合题目另一个条件，寻找突破口.

问题进阶驱动：如何利用△ABC的面积S=2+1这个条件？函数的思路相对更为明显，为什么？

根据三角形面积公式S=12acsin B，得c=2Sa·sin B，代入

3c=b（sin A-cos A）中，于是得到

6Sa·sin B=b（sin A-cos A）.再根据正弦定理

asin B=bsin B

化asin B为bsin A，于是得到等式

6S=b2sin A·（sin A-cos A），进而分离变量得到 b2= 6Ssin A·（sin A-cos A）.

到这里应该说实现了将目标b2化成了一个关于角A的函数.此刻确实有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.

合作解决问题，总结形成过程：下面就是利用函数求最值，是大家相对比较熟悉的，不过依然要注意谨慎计算，避免出错.计算细节展示如下：

由等式

b2=6Ssin A·（sin A-cos A），得

sin A- cos A> 0π4

再根据π4

3π4，9π4

sin2A+π4 ∈-1，22，所以

m∈0，2+12

.因为b2=6Sm，令b2=t，所以t=6Sm，当m∈0，2+12时，函数是减函数，故当

m=2+12时，t有最小值，

t min =6S2+12=12S2+1=12，即AC边的最小值为23.

解题感悟：到这里这道压轴题应该说经过了严谨的推导，得到了完美的解决.仔细回味，三角恒等变换的功底要求较高，计算依然有烦琐之感，实际考试中不一定能稳定发挥得出来.同学们意犹未尽，继续讨论，寻找新的突破口.

方法二

问题驱动：三角函数与其他函数的最大区别是：每一个函数值都有几何意义，那么就要考虑是否可以借助图形来实施条件转化，寻找突破口.

解题策略：正切在高中阶段的知识点比较模块化，第一：切的和切的积，人教A版必修4第三章的复习题第四题对这类问题有体现;第二：在三角形中，三个内角的正切值之和等于它们三者之积，在人教B版必修4第三章的复习题第七题有体现;第三：最大仰角问题，即米勒问题中的直角三角求最值，人教A版必修5第三章第四节课后习题有体现.三角函数的本质载体还是三角形，三角正切值在直角三角形中表达，更直观明确.

任务分配：学生先自己尝试，再交流讨论.

分析：由正切1tan A，1tan B联想到三角形中的射影定理及理解图形.下面分锐角三角形与非锐角三角形两种情况，当然这两种情况不是一下子就能想到的，其实是在锐角三角形中，计算出线段的长是一个负数，不等式的取等条件取不到，激发了大家对三角形非锐角的猜测与理解.其实这也是解三角形中一个比较典型的问题.展示如下：

情况一的探究过程：

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

假设A，B均为锐角，则△ABC的高CD在三角形内部.设AD=x，BD=y，CD=h，则AC2=b2=x2+h2，1tan A=xh，

1tan B=yh.由△ABC的面积可得

（x+y）h= 2S=  22 +2;再由

4tan A+3tan B=1

得

4x+3yh=1.于是得三元二次方程组

（x+y）h=2S=22+2，

4x+3yh=1，

b2=x2+h2.

解多元方程组的核心思想是消元

由4x+3yh=1，得y=h-4x3，

将y=h-4x3代入方程

（x+y）h=22+2

得

x+h-4x3

h=（h-x）h3=22+2

，即h2-hx=62+6.于是

x=h2-6（2+1）h=h-6（2+1）h

.此时应注意得到

x=h-6（2+1）h>0

（求解不等式取等条件时要用到） 即 h2> 6（2+1）.

展开化简应用基本不等式可以得到：b2=h2+x2=h2+6（2+1）h-h2

=2h2+[6（2+1）]2h2-12（2+1）≥22h2·[6（2+1）]2h2-12（2+1）

=22·6（2+1）- 12（2+1） =12（2+1）·（2-1）=12

，当仅当 2h4=  （62+ 6）2即2h2=62+6时，等号成立.

特别提醒：计算到这里应该是比较激动的.因为很快就计算出了结果，而且与正确答案一样，此时最容易忽略基本不等式的“一正、二定、三相等”的使用原则.而事实上取等条件不能成立.因为此时

x=h-6（2+1）h=h-2h<0，即b的最小值取不到.

问题进阶驱动：不等条件取不到，是不是前面的尝试就没有用？当然不是.那么如果不是，x的值为负说明了什么？（这里是本题的一个难点，同时也是重点所在，课堂上应该在这里多花时间，让学生充分 探究）

学生讨论，教师点播，本质突破：x为负值说明线段AD的方向反向，即对称过去才满足题意，顶点A，B应该在高线的同侧，即角A应该为钝角，于是得到正确最值的取等情况.

情况二的探究过程：

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

不妨设A为钝角，即此时△ABC的AB边上的高CD在三角形外.设AD=x，BD=y，CD=h，则

AC2=b2=x2+h2，

1tan A=-xh，

1tan B=yh.

由△ABC的面积可得

（y-x）h=

2S= 22+2

，再由

4tan A+3tan B=1

得

3y-4xh=1.于是得三元二次方程组

（y-x）h=2S=22+2，

3y-4xh=1，

AC2=b2=x2+h2.

由3y-4xh=1，得y=h+4x3.將

y=h+4x3

代入方程（y-x）h=22+2，

得（y-x）h=h+4x3-x

h=（h+x）h3=22+2，

即 h2+ hx=62+6.于是x=6（2+1）-h2h=6（2+1）h-h，则b2=h2+x2=h2+6（2+1）h-h2

=2h2+[6（2+1）]2h2-12（2+1）≥22h2·[6（2+1）]2h2-12（2+1）

=22·6（2+1）-12（2+1）=12（2+1）·（2-1）=12，

当仅当2h4=（62+6）2即2h2=62+6时等号成立.

经验证此时等号成立条件可以取得.

综上，边AC的最小值为23.

解题感悟：上述过程中方法二相对方法一，借助了三角形的图形，直观转化题目条件，最终应用不等式得到问题的解.计算量大大减小，而且解题过程中方向更加明确.更重要的是结果是由学生自己探究总结得出.

教学设计解读：核心素养的提出为当前教育课程改革很好地指明了努力方向，既兼顾了过去教学中三维目标的要求，又丰富了现在课堂教学目标的内涵，同时还注重这些素养在学生身上的综合完整体现.落实核心素养就是让学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.

当前在学生核心素养培育过程中面临的最直接的问题是：一方面，教师的自然想法让学生屡屡想不到、想不通、学不会，加重其自卑感.比如说本文中的方法一.另一方面，当学生给出异质性答案的时候，教师往往会通过“强制性说服”“诱导式启发”或“筛选式提取”等方法，归结到预设的答案上来.问题解决的过程花样百出，问题解决的结果高度一致，学生解决问题的能力没有得到真正的提高，揣摩教师心意的本领却在强化.为了避免这种问题，且舍得在促进学生数学核心素养发展上下功夫、花时间才有了文中的方法二.也是本文最希望给大家展示的.

本节课在精心设计的任务与活动中，引导学生主动参与到教学活动中来，积极讨论，大胆联想，细心尝试提高能力，反思总结促进核心素养发展.课堂上教师启发引导，学生主动探究，问题驱动型教学旨在帮助学生习得可迁移得知识，促进学生的心智在不同的情境中进行灵活转移，形成顿悟，真正做到在学习的过程中，不仅要学会而且要会学.