巧用“数形结合”思想，妙解高考数学试题

摘 要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.数形结合思想贯穿于整个高中数学内容的始终，同时它在高考中占有非常重要的地位.应用数形结合的思想方法解答高考数学试题，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用.

关键词：数形结合;思想方法;高考解题

数形结合思想贯穿着整个高中数学内容的始终，同时它在高考中占有非常重要的地位.所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合起来考虑.通过“以形助数，以数解形”，能够使复杂问题简单化，抽象问题具体化.在应用数形结合思想方法的同时注意遵循等价性原则、双向性原则、简单性原则.

例1.（2018年高考全国Ⅱ卷数学（文）21题）

已知函数

（1）若a=3，求f（x）的单调区间;

（2）证明：f（x）只有一个零点.

解：（1）当a=3时，.

令=0，得;

令>0，得或;

令<0，得.

∴f（x）在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（2）.

①当，即时，在R上恒成立，

f（x）在R上单调递增，其图象如图1所示，f（x）只有一个零点.

②当，即a<-1或a>0时，方程=0有两个不相等的实数根，显然x1

容易得，f（x）在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

若a<-1，则x11，由于x22+x2+1>0，

所以，f（x）极小值=.

此时，f（x）的图象如图2所示，f（x）只有一个零点.

若a>0，则x1<00，

所以，f（x）极大值=，

此时，f（x）的图象如图3所示，f（x）只有一个零点.

综上所述，无论a取任何实数，函数f（x）都只有一个零点.

例2.（2018年高考全国Ⅱ卷数学（理）21题）

已知函数f（x）=ex-ax2

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1;

解：当a=1时，f（x）=ex-x2，x≥0.

∴f'（x）=ex-2x

在同一坐标系作函数y=ex，x≥0与y=2x，x≥0的图象，再过原点（0，0）作曲线y=ex，x≥0的切线，如图4.

设切点为，则切线的斜率，切线方程为：.

又∵原点（0，0）在切线上∴

∴x0=1，即切点为（1，e），切线方程为：y=ex.

根據图1，易知f'（x）=ex-2x>0在[0，+∞）上恒成立.

∴f（x）在[0，+∞）上单调递增.∴f（x）≥f（0）=1.

总之，应用数形结合的思想方法解答高考数学试题，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用.

参考文献

[1].薛树英.2004年高考数学理科（18）题的分析与对策[J].数学教学研究，2004（08）：35.

[2].吕朝选.一道高考题的解法探究[J].数理化解题研究（高中版），2010（03）：7-8.