提炼解题模型，突破函数综合

王玉荷

[摘  要] 以抛物线为载体的函数综合题是中考的常考题型，该类问题具有曲线繁多、形式多样、综合性强的特点，求解时需要借助一定的数学模型及方法. 文章以一道中考题为例进行分步探究，并开展解后反思，提出相应的教学建议，与读者交流学习.

[关键词] 几何问题;函数综合;解题教学;解题策略

第三步，化动为静多解模型构建，公式巧用函数值域分析

最后一步是分析一般情形下的面积最值，P，D，Q三点均为动点，坐标不确定，仅已知三者之间的坐标关系，研究△DPQ面积的最大值，可以从三者之间的坐标关系入手. 具体求解有以下两种方法：

2. 于涵定理，三角模型求解

S的形状会随着三动点的变化而变化，由于直尺的宽度关系，使得点之间的横坐标又存在一定的联系，因此可以利用于涵定理构建关于三点之间的面积，设x-x=a，x-x=b，则a+b=x- x=4，而S=2ab=[（a+b）2-（a-b）2]=8-（a-b）2≤8，当且仅当a=b时，S取得最大值8.

解后反思

1. 求解的關键点

第（2）（3）问的求解相对较为复杂，但两者之间存在一定的联系，基本都是基于动态三角形构建的面积模型. 第二步研究特定情形下的面积最值，解题的关键有两点：一是如何构建一般三角形的面积模型，二是如何引入动点参数，建立关于几何面积的函数关系. 上述第二步的求解采用的是面积割补法，利用特殊三角形的组合来构建，然后利用面积公式建立起动点参数与几何线段之间的联系，从而将几何问题转化为较为直接的函数问题，利用函数的取值模型来完成面积的最值分析. 第三步则是研究一般情形下的最值问题，除了需要构建面积模型，联系动点参数外，最为关键的一点是如何将动态三角形量化. 上述解题过程采用了两种解法，一种是直接设定动态参数，分析两变量之间的关系;另一种是利用于涵定理关于动态三角形的面积模型，借助动态坐标参数来完成.

2. 问题的研究模型

本题目的第（2）（3）问为根据抛物线的表达式求解几何面积的最值问题，解题过程中使用到了最为常用的数学模型，即将一般三角形分割为具有公共底的特殊三角形，然后结合数学的模型思想，利用几何面积公式、顶点坐标建立起三角形面积关于坐标参数的函数，然后通过研究函数的值域来求解，这是函数面积求解的常用模型. 巧解面积模型，构造参数方程，是求解该类问题十分有效的策略.

3. 关于问题的变式

含参综合题是初中数学较为典型的问题，问题类型也都大同小异，具有较为通用的解题思路，对问题进行合理的变式，可以探究问题的通性通法.

变式1：当P的横坐标为-，且△DPQ是以顶点P为直角的直角三角形时，试求△DPQ的面积.

解题思路：求解过程必须强化对∠P=90°的理解，其指向除了DP⊥PQ，在函数方面的体现为DP所在直线与PQ所在直线斜率的乘积为-1，即k·k= -1，求解可先设出点D的坐标，然后分别求出两条直线的斜率，进而确定点D的坐标，然后利用上述提炼的三角形面积模型，即可完成求解.

变式2：P的横坐标为-，试求当△DPQ面积取得最大值时，的值.

解题思路：该问题实际上就是求△DPQ面积最大时点D的坐标，问题本质与第二步相同，同样需要构建关于动点参数的面积模型. 通过研究函数方程来确定参数的取值，即点D的坐标，最后再利用两点之间的距离公式来求解.

教学建议

1. 注重引导学习，挖掘问题本质

对于解题教学，最为关键的一点是引导学生发掘问题的隐含信息，把握问题的本质内容. 如上述考题给出的直尺的宽度，其隐含信息是两点之间的横坐标差值，而点位于曲线上，表达的含义是点的坐标满足曲线的方程，即可以用一个坐标参数来表示点的位置. 对于问题所涉及的内容，要逐步引导学生建立问题与条件之间的联系. 对于函数综合题，需要引导学生认识到几何问题与点坐标之间的联系，如求几何线段、面积，实际上就是求点的坐标，需建立线段与点坐标参数的关系. 在引导的过程中可以适时展开追问，引导学生进行深层思考，把握解题关键点，做到“解题明理”.

2. 充分参与思考，促成方法形成

有效的解题训练应该确保学生充分参与，进行思想的交流与碰撞，在思考求解的过程中促成解题方法的形成. 需要注意的是方法的形成并不完全是教师所指导的解法，而是学生自我内化吸收所形成的适合自己的技巧方法. 这个过程中需要教师充分调动学生的积极性，让其充分思考问题，各抒己见. 交流的过程中教师也可以准确把握学生理解的误区，考虑到学生学习的难点，从而做出针对性的调整. 同时在交流中学生也可以汲取他人思维上的闪光点，加入自己的理解，形成自己的观点，自然而然地完成自我解题体系的构建.

3. 强化变式学习，明一理通类题

解题教学最为重要的一环是基于问题特点、解法开展的变式教学，该环节是由解题向明理过渡的重要过程. 对考题的变式探究，不仅仅是表面上对问题形式的改变，而是基于问题的研究模型、解题的思想方法、思路的构建策略来完成的深度探究. 该环节需要教师合理把握变式尺度，既不能超纲偏向，也不能变式过微失去教学意义，而应是基于学生已有知识经验和解题能力的阶段性拓展. 以一些常见的考题类型为参考来开展的变式，在变式环节需要向学生阐明变式的意图，以及破题的基本思路，使学生在基本的思维框架下完成开放问题的解答，这样的解题教学才能充分利用考题的价值，拓宽学生的解题思维.

结束语

数学的诸多问题具有一定的关联性，问题的研究模型、解题的基本思路存在一定的共性，充分利用这些通性通法，形成合理的解题策略，往往可以取得较好的解题效果. 在解题教学中，教师需要适时引导、合理变式，使学生认识问题的本质，充分思考内涵，掌握基本方法，形成解题策略，实现“通一题，通类题;明一例，明数理”的解题目标.