“中考试题中的新定义运算、推理题”复习课教学设计

谢建宝

[摘  要] 近年来，中考试题中出现了这样一类题，即由命题者重新定义一种新运算或给出一段阅读材料，引导学生观察、分析出其中所蕴含的本质特征，要求学生读懂题意，进一步解决相关的问题. 这类题是检测学生数学能力的一种新题型，文章就此类题尝试复习课教学，与同仁们共同探讨.

[关键词] 中考试题;新定义;复习课教学

内容与内容分析

1. 内容

中考试题中的新定义运算、推理题.

2. 内容分析

所谓“新定义运算、推理题”，主要是在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新运算、新概念、新方法等，要求学生读懂题意后结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.

3. 教学重点

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：渗透新定义型问题的基本解题策略.

目标与目标解析

1. 目标

（1）理解和掌握问题原型的特点，及其解决问题的方法和思路.

（2）利用新定义、新概念材料中体现的内涵解决问题.

（3）根据问题情境的变化，通过认真思考，合理地进行思想方法的迁移.

2. 目标解析

（1）根据问题提供的具体题意，能分析清楚“新定义运算、推理题”的本质特征，并解决相关问题.

（2）能在“新定义运算、推理题”的基础上，分析其内涵，解决进一步延伸拓展的问题.

（3）在基础、拓展题的解题过程中，提炼、升华“新定义运算、推理题”的内涵，进行思想方法的迁移.

教学问题的诊断分析

本节课的复习主题体现在“新定义运算、推理题”上，对学生而言，“新”字是他们复习过程中的难点. 甚至不少学生在心理上存在恐惧感或阴影. 在课堂复习过程中，教师首先要树立使学生克服上述心理的强烈意识. 在例题、练习题的选用和顺序安排中，由易到难的坡度比例要做好，要注重例题的典型性、丰富性和说服力，这样有利于学生发现问题的共同本质，举一反三，从而达到解决此类题的目的.

这节复习课的难点是：根据问题，探索解题思路和方法.

教学支持条件分析

课前用纸质教案材料把“课题”相关的要求及列举的例题和检测题下发给学生，让学生先了解“课题”的呈现方式，再利用“班班通”多媒体展示课件（例题、檢测题、解答过程）.

教学过程设计

1. 新定义运算

（1）定义一种运算“☆”，规则为a☆b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是（    ）

A. B.C. 5 D. 6

（2）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=（a+b>0），则3*2==，那么6*（5*4）=______.

（3）定义运算：a*b =2ab. 若a，b是方程x2+x-m=0（m>0）的两个根，则（a+1）*a-（b+1）*b的值为（    ）

A. 0B. 2 C. 4m D. -4m

设计意图上述检测题是从近几年的中考试卷中提取出的题目，由易到难，有一定的对比效果. 教师应引导学生读懂题意后解决问题. 上述试题容易引起学生的共鸣，有利于学生克服对“新定义运算”题型的心理阴影，能促进本节复习课顺利进行.

2. 材料新定义

例1若正整数a，b，c满足+=，则称正整数a，b，c为一组和谐整数.

（1）判断2，3，6是否为一组和谐整数，并说明理由;

（2）已知x，y，z（其中x

分析对于第（1）问，根据题目所给的运算式，将具体的数字代入即可. 对于第（2）问，需要从第（1）问中读懂最小的正整数应作为c，而另外两个比较大的数字应作为a，b.

解答（1）2，3，6是一组和谐整数，理由如下. 因为=+，满足和谐整数的定义，所以2，3，6是一组和谐整数.

师（追问）：从第（1）小问中，你能加以引申吗？如果离开具体的数字，哪个数是“单独”等式的一边，哪两个数是“结伴而行”的？

生：最小的数的倒数是等式一边“单独而行”的，另两个数的倒数是“结伴而行”的.

（这一问题为第（2）问的解题思路做了铺垫）

师：由第（1）问的解答，你能类比出解答第（2）问的思路吗？其中哪个数是最小的正整数？（最小正整数的倒数单独作为等式的一边）

解答（2）因为x﹤y≤z，依题意，得=+. 因为x=m+1，y=m+3，所以=-=-=.所以z=. 因为z=24，所以=24，解得m=5，m=-9. 因为x是正整数，所以m=5.

设计意图此题是2018年某市的质检试题，其中既蕴含了代数运算，又体现了含参问题的合情推理，能充分体现学生的代数综合分析问题的能力、解决问题的能力和运算能力.

检测题对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”. 例如，P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）.

（1）点P（-2，3）的“3属派生点”P′的坐标为______;

（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，-9），求点P的坐标;

（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点P′，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求点k的值.

例2 若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同族二次函数”.

（1）请写出两个为“同族二次函数”的函数;

（2）已知关于x的二次函数y=2x2-4mx+2m2+1和y=ax2+bx+5，其中y的圖像经过点A（1，1），若y+y与y为“同族二次函数”，求函数y的解析式，并求出当0≤x≤3时，y的最大值.

分析此题要从题意中理解“同族”的含义（“同族”只是命题者自身定义的词语）——“顶点相同，开口方向相同”的二次函数. 要从文字表述过渡到二次函数解析式的建构.

解答  （1）答案不唯一，如y=x2和y=2x2.

（在黑板上画出y=x2和y=2x2的图像）

师：两条抛物线分别是如何对应的？

生1：开口小的是y=x2，开口大的是y=2x2.

生2：老师，刚才那位同学的回答是错误的，应该是开口小的是y=2x2，开口大的是y=x2.

师：（追问）抛物线开口的大小与a的大小关系如何？

生3：a越大，抛物线的开口越小;a越小，抛物线的开口越大.

（列举在贵州省平塘县克渡镇南边，世界最大的单口径球面射电望远镜（FAST），又被形象地称为中国“天眼”，加以说明抛物线的开口大小与a的大小关系）

解答（2）将点A（1，1）代入y的解析式，得2×12-4×m×1+2m2+1=1，整理得m2-2m+1=0，解得m=1，所以y=2x2-4x+3=2（x-1）2+1. 所以函数y的顶点坐标为（1，1）. 所以y+y=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8. 又y+y与y为“同族二次函数”，所以（a+2）+（b-4）+8=1，

-=1， 解得a=5，

b=-10.所以函数y的表达式为y=5x2-10x+5. 所以y=5（x-1）2. 所以函数y的图像的对称轴为直线x=1. 因为5>0，所以函数y的图像开口向上.

师：你们还有不同的解法吗？

生4：可以设y=y+y，根据题意可知y=k（x-1）2+1，则y=k（x-1）2+1-y.

师：很好，逆向思维，是与刚才老师给出的解题思路完全不同的创新思维.

生4：y=（k-2）（x-1）2. 又y经过点（0，5），代入后可求得k=7. 所以函数y=5（x-1）2. （再一次给生4的解法给予充分肯定）

师：下面我们解决最后一个问题——画出函数y=5（x-1）2的草图，即顶点为（1，0），对称轴为直线x=1的抛物线. 由图像（图像略）可知，在0≤x≤3范围内，可作如下分段. ①当0≤x≤1时，因为函数y的图像开口向上，所以y随x的增大而减小. 所以当x=0时，y取得最大值，此时最大值为5×（0-1）2=5. ②当1

设计意图此题建立在二次函数的基础上，其一，能顺便复习二次函数的有关基础知识，如开口方向与a的关系，顶点坐标;其二，重点在新定义——“同族二次函数”上，解题过程既体现了解二次函数问题的一般性，又体现了“同族二次函数”的特殊性，结合分类讨论以及数形结合等数学思想，此题最终得以顺利解决. 通过以上问题的分析、解决，学生对“新定义、新材料推理”问题有所认识.

检测题规定：在平面直角坐标系中，直线l1绕原点O顺时针旋转90°得到的直线l2称为l1的“旋转垂线”.

（1）求出直线y=-x+2的“旋转垂线”的解析式;

（2）若直线y=k1x+1（k1≠0）的“旋转垂线”为直线y=k2x+b，求证：k1k2=-1.

3. 课堂小结

（1）每一个“新定义运算、推理题”出现，你是应用怎样的方法做好阅读、理解题意的？

（2）结合每一个问题中的“新材料”，在理解题意的前提下，你是如何进行数学思考，探索出问题的解题思路的？模仿有参与其中吗？

（3）在需要拓展思考的问题中，你是如何突破数学思考的藩篱和禁锢，探索出问题的解题思路的？

（4）通过本节课的复习，你有增强解决“新定义运算、推理题”的信心吗？

归纳传统的解答题，其条件和结论是由题目明确给出的，考生解题只需由因索果或执果索因即可. 而新定义问题要求考生认真收集和处理题目中所出现的材料信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，调动一切所需要的基础知识认真研究，才能得到问题的解答. 开放性、探索性和综合性是新定义题型的明显特征. 这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答思路灵活多变，既需要考生有扎实的数学“四基”，具备相当的数学核心素养;又需要考生兼备数学思维的创造性、数学悟性，具有良好的数学解题品质.