问题驱动思维，生成直观想象核心素养

何萍 赵安顺

[摘  要] 文章通过课例，探讨了课堂教学实践落实直观想象核心素养培养的途径：（1）用问题串驱动有逻辑的思考，树立“用图形”的意识;（2）问题引领感知空间位置变化，体验运动变化对应思想;（3）聚焦核心问题驱动深度思维，积累数形结合活动经验.

[关键词] 问题驱动;直观想象;核心问题

直观想象是中学阶段六大数学核心素养之一. 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程. 主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述和分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路. 参照《义务教育数学课程标准（2011年版）》和高中数学课程标准修订组提出的数学核心素养的基本成分，直观想象分为空间观念和几何直观. 对于几何直观而言，建立形与数的联系是几何直观的内核，要以此为基础培养学生数形结合思想方法在问题解决过程中的应用. 对于空间想象而言，要在问题解决过程中增强学生运用图形和空间想象思考问题的意识，促进直观想象核心素养的形成. 那么课堂教学怎么实践落实直观想象核心素养的培养呢？下面以“平行线专题复习”为例，加以探讨.

“平行线专题复习”教学实践

1. 内容和内容解析

本节课的主要内容是在学习角平分线、平行线判定和性质，以及二元一次方程的基础上进行平行线专题复习. 这是初中阶段学生初步接触平面几何，培养几何思维习惯，树立应用图形解决问题的观念，形成直观想象思维能力的关键时刻. 基于学生培优的需要，根据上述分析，本节课的教学重点确定为：在具体情境中运用平行线知识解决问题，体验数形结合思想.

2. 目标和目标解析

（1）通过在具体情境中解决问题，复习平行线知识，构建知识框架图.

（2）通过应用图形解决问题，体验分类思想，体会方程模型思想和数形结合思想，感受运动变化对应思想，发展直观想象思维能力.

3. 教学片段呈现

环节1：观察图形，搭建知识框架，感受数形联系.

活动1：如图1，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°，则∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？

（教师没有让学生直接求值，而是先提出几个问题引导思考，问题如下）

问题1：点P在平行线之间运动，它的运动范围是怎样的？在这个过程中，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？（复习平行线性质，并引导学生通过观察图形认识事物运动. 当学生只给出点P在直线EF左侧时的答案时，教师继续引导）

问题2：点P在平行线之间运动，这三个角还有没有可能存在其他数量关系？（继续引导学生关注图形变化，启发点P的位置变化会引起三个角的数量关系的变化. 待学生解答完整后，教师拖动几何画板让学生观察图形变化与数量变化的联系）

教师小结：两直线平行，可得到同位角、内错角、同旁内角的数量关系，同样地，已知这些角的数量关系，也可以判定两直线平行，这说明线的位置关系与角的数量关系存在关联.

环节2：运用图形，感悟分类依据，感受对应变化思想.

活动2：如图2，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD.

（1）若∠EPF=60°，则∠EQF=______;

（2）猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由;

（3）当∠EPF+∠EQF=________时，∣∠EPF-∠EQF∣=________.

（教师没有直接呈现第（1）问，而是先在图1中添加∠PEB和∠PFD的平分线，然后提出问题引导学生思考，问题如下）

问题1：当点P运动到一个位置时，点Q对应着也运动到一个位置，一个位置对应一个角度，那么当∠EPF取一个值时，对应的∠EQF也会取一个值. 运动点P，使得∠EPF=60°，此时对应的∠EQF为多少度？（引导学生关注图形的变化，初步感受对应变化思想，接着呈现第（1）问）

学生解得∠EQF=150°后，教师针对分类遗漏的难点继续提问启发观察.

问题2：点P在平行线之间移动，满足∠EPF=60°的位置除了这一个，还有第二个位置吗？请你指出来.（学生画出了第二个位置，教师继续启发观察）

问题3：你还能画出第三个位置吗？这样的位置有多少个？（学生回答：無数个）

问题4：这无数个点形成了怎样的图形？（有几个学生叫出来：弧形）

教师用几何画板拖动点P在平行线之间运动，直观呈现运动轨迹，出现两条圆弧，启发学生关注，并将问题“点P运动为什么会形成两条圆弧”作为课后兴趣题拓展，然后继续提问引导学生思考.

问题5：这无数个点P，都使得∠EPF=60°，那么对应的∠EQF都是150°吗？（引导学生关注图形，直观想象点P的位置变化引起∠EQF的变化，在求得∠EQF的另一个值为30°的情况下，教师继续追问）

问题6：在这无数个位置中，∠EQF的值只有这两种情况吗？你认为是什么原因使得∠EQF的值发生变化？如果让你来分类，会分成几类？是哪几类？（启发学生运用图形将点P分成在EF左边和EF右边两种情况）

教师小结：点的位置变化往往是产生分类的重要依据.

问题7：当点P在平行线之间运动时，相对于P点的其他位置，你还能求得对应的∠EQF的值吗？（学生举了当∠EPF=40°时，∠EQF=160°或20°的例子，这时有学生举手，提出了问题8）

问题8：我想探究∠EPF与∠EQF的数量关系.（教师顺势呈现第（2）问）

学生很快求得两种情况下的数量关系：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF. 教师继续提出问题启发学生探索.

环节3：联想图形，构建方程模型，体验数形结合思想.

问题1：当点P在EF左边时，有∠EPF+2∠EQF=360°，这是我们非常熟悉的二元一次方程，它有多少个解？当添加条件“∠EPF=60°”时，就得到了二元一次方程组，我们就能求出∠EQF的值了. 现在改变添加的条件，即当∠EPF+∠EQF等于多少度时，能确定∠EPF，∠EQF的值？（教师呈现第（3）问）

学生添加了以下几种情况：①当∠EPF+∠EQF=150°时，∣∠EPF-∠EQF∣=50°;②当∠EPF+∠EQF=210°时，∣∠EPF-∠EQF∣=90°或70°;③当∠EPF+∠EQF=300°时，∠EPF，∠EQF不存在. 教师提出问题继续启发学生思考.

问题2：当添加的值不同时，为什么有的时候存在，有的时候不存在;有的时候有一个解，有的时候有两个解？它们分别对应了哪一种图形？你能不能确定当∠EPF+∠EQF取哪些值时，解是存在的？取哪些值时，只有一个解？取哪些值时，有两个解？（启发学生联想图形，运用图形解决问题）

学生运用图形猜测出几个关键位置，从而归纳出：当0°<∠EPF+∠EQF≤180°时，有1个解;当180°<∠EPF+∠EQF<270°，有2个解;当∠EPF+∠EQF≥270°时，无解. 教师接着提出问题3作为课后思考题.

问题3：如果∠EQF用∠EPF的代数式表示，那么∠EPF+∠EQF就可以转化为用∠EPF的代数式表示，我们由∠EPF的取值范围，是不是可以求出∠EPF+∠EQF的取值范围？如果能，请写出解决问题的过程.

环节4：概括小结，运用数形结合思想.

教师呈现本节课的复习框图（图3），总结：在动点问题中，首先观察图形的变化，点的位置的变化是产生分类的重要依据，可以用方程（组）数学模型刻画数量关系，运用图形建立数与形的联系是问题解决的重要方法.

教师布置思考题：如图4，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD所在的平面上有一动点P，满足0°<∠EPF<180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由.

问题驱动思维，生成直观想象

核心素养

著名数学家和数学教育家M·克莱因认为：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上. ”国内学者史宁中也认为，在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的. 这种“看”的能力依赖于直观想象. 直观想象本质上是一种基于图形展开想象的思维能力;是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象集中体现在利用几何直观与空间想象解决数学问题上，因此，用问题驱动思维，在数学问题的解决过程中将问题表征、图式构建与学生思维有机结合，能生成直观想象核心素养.

1. 用问题串驱动有逻辑的思考，树立“用图形”的意识

意识上引起对图形的关注是生成直观想象的首要条件. 可用教学内容和创设情境提出的内在逻辑关系的一系列问题，去推动学生借助图形展开有逻辑的思考，以此树立学生在解决问题时“用图形”的意识. 问题驱动教学过程展开的内在逻辑关系如图5. 首先，创设在两条平行线之间存在动点P，求∠AEP，∠EPF，∠PFC的数量关系的情境. 学生通过观察图形，在运用平行线的性质获得三个角的数量关系的过程中，初步体会动点的位置变化引起数量关系的变化，引出继续探索点的位置关系与角的数量关系. 在添加两条角平分线后，通过求特殊情况“当∠EPF=60°，求∠EQF的值”，进一步引出“产生不同数量关系与什么有关”，即“如何分类”这一核心问题，想象P点运动的轨迹，观察、运用图形，归纳在无数个满足∠EPF=60°的点P的位置中，只存在两种角的不同数量关系，从而感受分类的依据，并进一步运用图形，探索一般情况下∠EPF与∠EQF的数量关系，从而得到关于∠EPF与∠EQF的二元一次方程. 接着，为了确定∠EPF，∠EQF的值，在学生自主探究∠EPF+∠EQF取哪些值的活动中，再次联想运用图形，验证存在性问题. 在整个教学过程中，通过有层次的、有机联系的一系列问题，将教学内容逐步展开，每一个教学内容紧紧围绕着“基于图形展开想象”的思维活动，体会运用图形想象、思考问题的作用，感受数与形结合运用的价值，树立“用图形”解决问题的意识.

2. 问题引领感知空间位置变化，体验运动变化对应思想

借助空间认识事物的形态与变化，用问题引领感知空间位置变化，体验运动变化对应思想，是培养直观想象核心素养的重要内容. 从内容性问题出发，我们要思考“教什么”“如何走向深刻”. 根据本课的选题，从平行线的知识出发，在探究角的数量关系中，通过例题的三个问题引导，经历了从特殊到一般，从方程思想到函数思想的过程，又渗透了函数与方程的关系，能帮助学生真正理解相关知识内容的同时，让学生体验到运动变化对应思想. 站在运动变化的高度认识事物，认识数学教学，高屋建瓴，既能为后续学习做铺垫，也能为今后进一步在复杂情境中探索事物的位置关系、形态变化与运动规律积累直观想象经验.

3. 聚焦核心问题驱动深度思维，积累数形结合的活动经验

数学教育的主要任务应是促进学生思维的发展，特别地，应通过教师的教学帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考. 因此，问题驱动教学中要关注两个问题：一是学科层面的本原问题，二是教学层面的核心问题. “核心问题指向所学知识的本质，通过它，学生能理解所学知识的要点. 核心问题是整合数学内容的关键和重点，其他问题由它派生出来，并与它有着内在的逻辑联系，通过它，学生能实现知识的整体建构;核心问题是思考的动力，是知识学习的大纲. 提炼核心问题，要在知识理解的关键. ”核心问题是基于本原问题又超越本原问题的一种课堂呈现，教师根据因材施教的原则挖掘出核心问题，既有利于发挥教师的主导作用，也有助于充分调动学生的主动性. 课堂上呈现的是显性的教学组织上的核心问题，但是背后的支撑离不开对学科本原性问題的准确把握. 聚焦核心问题，关注“教什么”“如何走向深刻”，思考“怎么教”“如何走向生动”，驱动学生深度思维，积累数形结合的活动经验，是生成直观想象核心素养的必要途径.

本课选题来源于初中阶段的动态几何问题教学. 动态几何问题教学的核心问题应该是，通过某个动点问题的解决，提炼、归纳出动点问题的一般思考方法，使学生掌握举一反三解决问题的能力，并获得思考数学问题的一般结构和方法. 基于初一学生的认知能力和水平，选取“如何分类”作为本课的核心问题，以平行线为载体，通过点的运动，教会学生思考. 首先，清晰运动状态和路径;然后，清晰哪些量引起了图形或数量关系的变化，找到变化中的规律，即不变的本质;最后，构建合适的数学模型，运用数学知识进行解决. 为了解决核心问题，教师不停地“挑起事端”：点P在平行线之间运动，它的运动范围是怎样的？点P在平行线之间运动，这三个角还有没有可能存在其他数量关系？点P在平行线之间移动，满足∠EPF=60°的位置除了这一个，还有第二个位置吗？你还能画出第三个位置吗？这样的位置有多少个？这无数个点形成了怎样的图形？这无数个点P，都使得∠EPF=60°，那么对应的∠EQF都是150°吗？在这无数个位置中，∠EQF的值只有这两种情况吗？你认为是什么原因使得∠EQF的值发生变化？如果让你来分类，会分成几类？是哪几类？这些问题能让学生在情境中发现并提出核心问题，能充分运用图形进行思考，形成自己对问题的想法，充分表达自己的想法，倾听、捕捉冲突点，引发思维碰撞，主动探索数量关系，体验数形结合思想.