高等数学教学中数学素养的培养

旷伟平　孙勇

摘 要 高等数学课程是培养非数学专业大学生数学素养的主要途径，本文主要从例题教学、将数学史融入高等数学课堂、数学建模思想融入高等数学课堂及在高等数学课堂中挖掘出数学的美等方面讨论了高等数学教学中数学素养的培养。

关键词 高等数学 数学素养 数学美

Abstract The advanced mathematics curriculum is the main way to cultivate the mathematics literacy of non-majored college majors. This paper mainly integrates the history of mathematics into the higher mathematics classroom， integrates the mathematical modeling ideas into the higher mathematics classroom and digs out the mathematical mathematics in the advanced mathematics classroom Discusses the cultivation of mathematics literacy in advanced mathematics teaching.

Keywords advanced mathematics； mathematical literacy； mathematical beauty

随着信息时代的到来，数学的理论与方法已经渗透到社会中的各个领域。高等数学是工科院校各专业的重要基础课程之一，从而对高等数学的教学提出了更高要求： 使学生具有解决问题和分析问题的能力及应备的数学素养；因此在高等数学的课堂教学中注重数学素养的培养是我们不可推卸的责任。

1 数学素养的概念

1.1 数学素养的内涵

世界经济合作和发展组织（OECD）将数学素养诠释为：数学素养是一种个人能力，学生能确定并理解数学对社会所起的作用，得出有充分根据的数学判断和有效运用数学。美国数学家对数学素养的定义是：懂得数学价值，对自己数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，掌握数学思想方法。[1]

1.2 培养数学素养的意义

培养学生的数学素养，可以提高民族素质。数学素养是人的文化素养的一部分，而文化素养是民族素质的重要组成之一，即提高民族素质的重要方面之一是培养学生的数学素养。培养数学素养还有利于学生适应社会的发展。日本数学家米山国藏认为：“不管学生们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却将随时随地发生作用，使他们受益终身。”[2]

2 高等数学教学中数学素养的培养

数学素养的培养具体到教师的课堂上，本文从定义的教学，例题的教學，将数学史与数学建模思想融入高等数学课堂及在教学中挖掘高等数学的美等方面来进行讨论。

2.1 例题教学与数学素养的培养

高等数学例题教学从内容上大致分为如下3 个层面：首先是基本概念、定理、公式等基本内容； 其次是对基本知识的分析、归纳和总结得到数学解题方法与技巧和理解数学思想及方法；最后是通过联想、猜测及类比等数学思想将已知的知识和方法类比到新的知识和思维方法中。[2]本文笔者通过以下例题的讲解来探讨怎样在例题教学中来提高学生的基本数学素养。

例 计算

分析： 这是求定积分的一个问题，通过观察很难找到其原函数；

通过对比，将联想为函数的增量

与学生回忆与函数增量有关的概念、定理、公式，总结得涉及函数增量的内容有： 连续、导数的定义、拉格朗日中值定理、牛顿—莱布尼兹公式等；通过分析，连续、导数与拉格朗日中值定理等与极限、导数符号有关，不适合此问题； 而牛顿—莱布尼兹公式可将还原为定积分，则该定积分可转化为二重积分； 进一步联想到二重积分交换积分次序该问题可求解。

在高等数学教学中将基本数学思想和数学方法融入到例题教学中，可以提高学生数学能力，这是提高数学素质的一个有效措施。

2.2 定义教学与数学素养的培养

高等数学中许多重要概念是从实际问题中抽象出来的数学本质，如积分、导数、级数以及极限等。在教学中将生活中解决问题的思想方法作为模型，把数学知识与学生的生活进行类比，是帮助学生理解数学重要途径之一。例如在学习对弧长的曲线积分定义的教学中，从求对密度不均匀的曲线形构建的质量进行引入，弧长的曲线的积分定义中的方法是：先分割，将曲线形构件分割成 n 段小弧段，接着常代变，把每个小弧段的构件看成是密度均匀的求出其质量的近似值，再求和把 n 个小弧段构件的质量求和，最后对这个和取极限就得到了密度不均匀的曲线形构建的质量的真实值。分析这个定义时可以类比生活中常用的化整为零的思想方法。通过已有的知识类比到新知识中，有助于理解对弧长的曲线积分定义的知识点。这可以帮助学生理解解决问题的根本方法即抓住问题的本质，这种通过抽象、联想等学习新知识的方法，对学生数学素养的提高有着重要的意义。

2.3 将数学史素材应用到高等数学教学中

很多数学大师都具有深厚的数学史修养，并从中汲取养分。数学的发展不是一帆风顺的，数学家们的学习和研究过程总是千辛万苦的，他们努力克服困难的精神能激励学生思考和探索数学知识，将数学史融入到高等数学课堂是很有必要的。例如学习导数时，引入微积分的起源与诞生；学习中值定理时，介绍罗尔的生平及其青年时期的学习、情感经历，顺便介绍拉格朗日的家庭出身及其与数学研究的渊源等；通过定积分概念的学习，谈微积分的发展历史等， 将这些故事引入到课堂上， 将提高高等数学课堂的的趣味性。通过分析他们是如何克服困难、拓展思路， 如何解决问题的，对青年学生们都有很大的教育意义。endprint

2.4 在高等数学教学中渗透数学建模思想

数学建模是用数学的语言和方法对各种实际问题建立模型的过程，是实际问题数学化的产物。恰当地在高等数学课堂上引入数学建模知识，有利于培养学生解决问题的能力。课堂教学中针对各专业的要求设置1～2个数学模型，每个模型花一个课时的时间让学生体验数学建模中的全过程，从而激发学生的学习兴趣和提高解决问题的能力。

例如，学习重要极限时，我们为了让学生明白这个极限在实际应用中的重要性，可以设计如下案例。

案例：设某发达地区当年人口总数为€%Z0，人口的年增长率为，问年后该地区的人口总数是多少？

分析：若人口每年增长一次，则t年后人口总数为：，因为每时每刻都有人出生，这种方法与实际不吻合；

若单位时间内人口增长率相同，比方说将一年分成四季，每个季度增长率相同，则年后人口总数为：；

实际是每时每刻都有人出生，此情况用数学语言描述为，将一年分成期且时的极限，即则年后人口总数为：。这就体现了重要极限的重要性，通过这个式子我们还能让同学清楚地知道什么情况下人口可以翻番，进而激发学习兴趣，提高了数学素养。

2.5 在高等数学教学中挖掘出数学的美

亚里士多德说：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。”部分学生觉得数学课堂枯燥无趣，很大的原因是没有在学习中发现数学的美，因此教师在教学中挖掘高等数学中的数学美，能够激发学生学习兴趣，同时挖掘数学美的过程也是能培养学生的创造性，启迪悟性和挖掘潛能的重要的途径。如和式的极限通过定积分符合简单完美地表示出来了；集合运算中的对偶性，体现了数学的对称美；极限的内涵通过极限定义（语言）简短的四句话就深刻准确地表达出来了；连续复利的储蓄问题的量及其关系可以用表达式简单地表示等等，这些都体现了高等数学中的数学美普遍存在。

总之，数学将经验升华成规律，将杂乱整理成有序，体现出抽象、统一简洁的美，在高等数学教学中有意识地挖掘这些美，能够激发学生主动学习的欲望，愉悦地进行数学学习和研究，从而提高学生的数学素养。[3]

3 结束语

数学素养是在实践中逐渐地形成的，高等数学课程是培养非数学专业大学生数学素养的重要载体。在高等数学的教学中重视学生的数学素养是一项长期的系统的工程。教师要从思想上重视培养和提高学生的数学素养，使学生在学习高等数学知识的过程中理解数学思想、方法及意识；学生应该勇于创新，努力提高自己的数学素养，通过对高等数学的学习掌握数学的思想方法，掌握合适的学习和工作方法，让数学素养在自己的身上积累和沉淀，为学习、工作及生活发展奠定良好的基础。[4]

参考文献

[1] 朱长江.谈谈如何提高大学生的数学素养[J].中国大学教学，2011（11）：17-19.

[2] 方艳溪.论数学素质教育[J].高等理科教育，2010.91（3）：43-46.

[3] 林开亮.数学之恋[J].数学文化，2014.5（4）：99-104.

[4] 朱传喜.努力提高大学生的数学素养[J].数学教育学报，2014（23）：14-16.endprint