不等式中恒成立问题的解题策略

摘 要：恒成立问题一直是中学数学的重要内容，高考中也经常出现含参数的恒成立问题，它涉及函数、数列、不等式、导数等知识点，包含转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法。在近几年的高考试题中，恒成立问题越来越受到高考命题老师的青睐，在培养学生的思维方面起到了重要的作用。高中引入导数这个工具后，更丰富了解题的手段。通过实例比较系统地归纳出解决恒成立问题的一般方法，帮助学生重新认识此类问题。

关键词：不等式；恒成立问题；解题策略

一、利用最值解决

模型1：若f（x）>0，x∈D恒成立，只需fmin（x）>0，x∈D

若f（x）<0，x∈D恒成立，只需fmax（x）<0，x∈D

1.在R上的恒成立问题

例1：已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex在R上为增函数，求a的取值范围。

解：由题意：f'（x）=x2+（a+2）x+（a+2）ex≥0在R上恒成立，即

x2+（a+2）x+（a+2）min≥0，所以Δ=（a+2）2-4（a+2）≤0

所以-2≤a≤2

2.含絕对值不等式的恒成立问题

例2：若x-1+2x+1≥m恒成立，求m的取值范围。

设f（x）=x-1+2x+1

当x≥1时，则f（x）=3x，所以f（x）≥3

当-■

当x≤-■时，则f（x）=-3x，所以f（x）≥■

于是f（x）min=■

所以m≤■

二、分离参数，转化为求最值问题

模型2：m≥f（x）在x∈D上恒成立？圳m≥f（x）max，x∈D

m≤f（x）在x∈D上恒成立？圳m≤f（x）min，x∈D

其中左边为常数即可，也可以是■、-■等形式。

例3：已知函数f（x）=■+alnx-2，a>0

（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（x））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值。

（2）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）>2（a-1）成立，求a的范围。

解：（1）a=1

（2）由题意：f（x）=■+alnx-2>2（a-1）

从而■>x（2-lnx），设g（x）=x（2-lnx），只需■>g（x）max

因为g'（x）=1-lnx，所以，当x=e时，g'（x）=0

当00，

当x>e时，g'（x）<0，所以g（x）max=g（e）=e

所以■>e，从而0

如果本题把参数a分离出来，则需要分类讨论，由于左边只需要常数就可以，故左边分离■，从而避免了分类讨论，大大提高了解题效率。

三、变换变量，看作一次函数

例4：若不等式x2-（a+2）x+2a>0对一切0

解：左边的不等式如果看作关于x的不等式，则讨论起来比较麻烦，如果把a看作自变量，把x看作常数，则不等式可以理解为一次不等式，无需讨论，所以设g（a）=（2-x）a+x2-2x

因为g（a）=（2-x）a+x2-2x为a的一次函数

于是，只需g（0）≥0g（3）≥0

所以x≤0或x≥3

四、与存在性问题的区别

恒成立和有解是有明显区别的，要认真思考，恰当使用，等价转化，切不可混淆意思。

一般的，存在性问题可以参考恒成立问题解决，但是最值需要改变，现归纳如下。

模型3：若存在x0∈D，使得m≥f（x）成立？圳m≥f（x）min

若存在x0∈D，使得m≤f（x）成立？圳m≤f（x）max

例5：若存在x0∈[-1，1]，使得不等式4■-a·2■+1≤2■成立，求实数a的取值范围。

解：原始等价于-2■≤4■-a·2■+1≤2■

设t=2■∈[■，2]，

则-2t≤t2-a·t+1≤2t，即t+■-2≤a≤t+■+2

只需a≤（t+■+2）max，且a≥（t+■-2）min

所以0≤a≤■

总之，这类问题在数学学习中涉及的知识比较广泛，在处理上有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望以上的总结对同学们有所帮助。

作者简介：林东东（1983—）男，汉族，浙江温州，本科，一级教师，研究方向：中学数学。