数列论

哈尔滨师范大学研究生 马正方

数列论

哈尔滨师范大学研究生 马正方

本文以数列为话题，以二阶等差、等比数列为论点，对该数列进行中肯的分析解读，从而提出了二阶等差、等比数列定律。

二阶等差数列；二阶等比数列；奇数项；偶数项

一、关于等差、等比数列定律

【二阶等差数列定律】任何项数能够满足需要的二阶等差数列（设公差为x）：（1）其中任何连续三项（或五项、七项、九项之类的奇数项），中项的平方（其他奇数项则与首尾两项相邻的两项之积）减去首尾两项之积所得的差数构成二阶等差数列（与上述关于三项以及括号内相对应此等差数列的公差分别是x2、3x2、5x2、7x2之类系数均为奇数）。（2）其中任何连续四项（或六项、八项、十项之类的偶数项），与首尾两项相邻的两项之积减去首尾两项之积所得的差数构成二阶等差数列（与上述关于四项以及括号内相对应此等差数列的公差分别是2x2、4x2、6x2、8x2之类系数均为偶数）。

例1 七项的二阶等差数列1、3、8、16、27、41、58（从3开始，各项减前项之差为2、5、8、11、14、17这样公差为3的等差数列）：

关于连续三项：32-1×8=1，82-3×16=16，162-8×27=40，272-16×41=73；如此这般，16-1=15，40-16=24，73-40=33，并且15、24、33构成公差为9的等差数列，从而1、16、40、73构成二阶等差数列；“15、24、33”的公差9是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方。

关于连续四项：3×8-1×16=8，8×16-3×27=47，16×27-8×41=104，27×41-16×58=179；如此这般，47-8=39，104-47=57，179-104=75，并且39、57、75构成公差为18的等差数列，从而8、47、104、179构成二阶等差数列；“39、57、75”的公差18是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方的2倍。

例2 九项的二阶等差数列1、3、7、13、21、31、43、57、73（从3开始，各项减前项之差为2、4、6、8、10、12、14、16这样公差为2的等差数列）：

关于连续五项：3×13-1×21=18，7×21-3×31=54，13×31-7×43=102，21×43-13×57=162；如此这般，54-18=36，102-54=48，162-102=60，并且36、48、60构成公差为12的等差数列，从而18、54、102、162构成二阶等差数列；“36、48、60”的公差12是“2、4、6、8、10、12、14、16”的公差2的平方的3倍。

关于连续六项：3×21-1×31=32，7×31-3×43=88，13×43-7×57=160，21×57-13×73=248；如此这般，88-32=56，160-88=72，248-160=88，并且56、72、88构成公差为16的等差数列，从而32、88、160、248构成二阶等差数列；“56、72、88”的公差16是“2、4、6、8、10、12、14、16”的公差2的平方的4倍。

例3 十项的二阶等差数列3、5、10、18、29、43、60、80、103、129（从5开始，各项减前项之差为2、5、8、11、14、17这样公差为3的等差数列）：

关于连续七项：5×43-3×60=35，10×60-5×80=200，18×80-10×103=410，29×103-18×129=665；如此这般，200-35=165，410-200=210，665-410=255，并且165、210、255构成公差为45的等差数列，从而35、200、410、665构成二阶等差数列；“165、210、255”的公差45是“2、5、8、11、14、17”的公差3的平方的5倍。

二阶等差数列这个名词早已问世，我想也应该有二阶等比数列这个名词，于是我查找大量数学书籍，竟然没有找到。我想数学不应该有禁区，于是经过研究，得到了“二阶等比数列定律”。

【二阶等比数列定义】一个数列从第二项开始，各项除以前项所得的商数构成等比数列，这个数列就是二阶等比数列。

【二阶等比数列定律】任何项数能够满足需要的二阶等比数列（设公比为x）：（1）其中任何连续三项，首尾两项之积减去中项的平方所得的差数构成二阶等比数列，公比是x2。（2）其中任何连续N（N＞3）项，首尾两项之积减去与首尾两项相邻的两项之积所得的差数构成二阶等比数列，公比也是x2。

例1 七项的二阶等比数列2、2、4、16、128、2048、65536（从第二项开始，各项除以前项之商为1、2、4、8、16、32这样公比为2的等比数列）：

关于连续三项：（首项）2×4-（中项）22=4，（亚项）2×16-42=16，4×128-162=256，16×2048-1282=16384；如此这般，16÷4=4，256÷16=16，16384÷256=64，并且4、16、64构成公比为4的等比数列，从而4、16、256、16384构成二阶等比数列；“4、16、64”的公比4是“1、2、4、8、16、32”的公比2之平方。

关于连续四项：（首项）2×16-（亚项）2×4=24，（亚项）2×128-4×16=192，4×2048-16×128=6144，16×65536-128×2048=786432；如此这般，192÷24=8，6144÷192=32，786432÷6144=128，并且8、32、128构成公比为4的等比数列，从而24、192、6144、786432构成二阶等比数列；“8、32、128”的公比4是“1、2、4、8、16、32”的公比2之平方。

例2 八项的二阶等比数列2、2、4、16、128、2048、65536、4194304（从第二项开始，各项除以前项之商为1、2、4、8、16、32、64这样公比为2的等比数列）：

关于连续五项：（首项）2×128-2×16=224，（亚项）2×2048-4×128=3584，4×65536-16×2048=229376，16×4194304-128×65536=58720256；如此这般，3584÷224= 16，229376÷3584=64，58720256÷229376=256，并且16、64、256构成公比为4的等比数列，从而224、、3584、229376、58720256构成二阶等比数列；“16、64、256”的公比4是“1、2、4、8、16、32、64”的公比2之平方。

二、数列是什么

哲学认为“量变引起质变”。不是个体，而是由N（N＞2）个数所构成的数列具有一定的规模效应，从而能够进行“科学的抽象”，抽象出定理定律之类的理论知识，使人客观、全面、本质地认识事物。数学工作者和数学爱好者应当树立“数列价值观”，从而丰富自己的“数学头脑”，走“数列路线”，密切联系数列。数列是什么？说白了，数列就是数学王国的“群众”啊！数列具有群众性。相信这样的群众，依靠这样的群众，尊重这样的群众所体现的规模效应，从而让先进的数学文化知识大放异彩！尤其是近年来，数列方面的问题已经成为高考的热点。笔者发表的论文《“巧妙的证明”费尔马大定理》、《奇数之和定律破解千年悬案并且证明费尔马大定理》和《证明哥德巴赫猜想“1+1”并且证明“1-1”》都是走“数列路线”。

三、等差数列的普遍意义

等差数列具有相当的普遍意义，因为自然数列就是公差为1的等差数列。留心处处皆学问，细微之处见精神，细节往往决定成败啊！等差数列和等比数列虽然有一定的类比关系，但是其本质区别在于：在正整数范围内任何递升的三项等比数列，中项前后两项的乘积等于中项的平方；然而在正整数范围内，任何递增的三项等差数列，不仅中项前后两项的乘积，还要加上公差的平方（比等比数列多了这样一个附加条件，即要多一个“加数”），这样才能等于中项的平方。可惜人类在相当长久的历史中并没有认识到等差、等比数列存在如此的本质区别。自然数列开头的几个数字1、2、3、4，1、2、3就是三项等差数列，1、2、4就是三项的等比数列。然而哪个人能够明察秋毫地认识到该等差数列存在1×3+12（公差的平方）=22，比该等比数列存在1×4=22要多一个加数，即公差的平方呢？可见熟视无睹是不行的，不留心细微之处的细节便往往“差之毫厘失之千里”，使得中项定理的发现比勾股定理的发现推迟了千年之久，可谓“差之毫厘失之千年”啊！中项定理来之不易。我劝天公多抖擞，不拘时间降定理，一道灵感划破夜空，中项定理应运而生，正如爱迪生所言，他的发明都是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。灵感是什么？灵感就是天公给予勤奋者的奖赏啊！中项定理是勾股定理的好伴侣，“数形结合”的数学精华。中项定理是勾股定理的数化，而勾股定理则是中项定理的形化。可爱的中国，她是数学的故乡，勾股定理和中项定理不约而同地诞生在中国，这是历史的选择啊！我们的祖国叫中国，我们的民族叫中华，我国的腹地叫中原，还有中庸、中和、中兴、中意等等不胜枚举，“行不行”也说成“中不中”，现在又有一个定理叫中项，可见“中”的大家族多么兴旺发达啊！

四、点赞数列有保障

数列啊数列，数多能量大，有理其中挂，你勤它就合，任你来摘拿！

数列啊数列，或三五成群的有限，或不计其数的无限，似天地的儿女，若阴阳的化身（古人把偶数视为阴数，把奇数视为阳数），在数学舞台上表演惟妙惟肖的喜剧活戏啊！

数列啊数列，平凡而神奇，可歌又可泣。你爱数列呀，它就把自身的秘密全盘托出献给你！

有道是“青春万岁”，“理想万岁”。我根据自己对数列的理解，我要说：

数学王国的群众——数列万岁！