例说反证法

浙江镇海中学 沈红正

例说反证法

浙江镇海中学 沈红正

反证法是证明数学命题的一种间接证法，关于它的本质，有些学生总认为反证法其实就是证明原命题的逆否命题，事实上，这种认识是错误的。为了说明问题，先给出一个经典习题的五种证明方法。

原题：求证：a,b,c为正实数的充要条件是：a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0。

分析 必要条件显然成立，而充分性的证明必须综合考虑a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0，不易找到突破口，故尝试反证法。

证法五：假设a,b,c不全为正实数，则a,b,c中至少有一个为非正实数。

①若三个都是非正实数，不妨设a≤0，b≤0，c≤0，则abc≤0，与abc＞0矛盾。

②若两个是非正实数，不妨设a≤0，b≤0，c＞0，则：

当a+c≤0时，有a+b+c≤0，这与条件a+b+c＞0矛盾；

当a+c＞0时，有ab+bc+ca=b（a+c）+ac≤0，与ab+bc+ca＞0矛盾。

③若只有一个非正实数，不妨设a≤0，b＞0，c＞0，则abc≤0，与abc＞0矛盾。

综上可知，假设错误，故a,b,c为正实数。

比较以上五种方法，我们可以看到，它们都是在肯定条件的同时否定结论，并以此为依据，进行正确的推理，分别得到了矛盾（这是反证法的关键），但它们的矛盾形式是不一样的，证法一与假设矛盾，证法二自相矛盾，证法三和五与题设条件矛盾，证法四与事实矛盾（这就是反证法的多样性）。进一步分析我们还发现，证法三和五得到矛盾的途径是不一样的，证法三是综合运用假设和条件abc＞0的情况下得到与a+b+c＞0矛盾；而证法五是完全根据假设条件（a,b,c不全为正实数）得到与题设条件矛盾，这正好证明了原命题的逆否命题：若a,b,c不全为正实数，则a+b+c≤0，或ab+bc+ca≤0，或abc≤0。

一般地，反证法就是欲证“pq⇒”，可以肯定它的条件，而否定它的结论q（用﹁q表示），在的条件下，经过正确的推理，最后得出矛盾，即得到一个假命题“。如果在推导矛盾的过程中只用﹁q，而没有用题设条件p做前提，且推导出的结果是﹁p，那么这样证明的命题才是逆否命题，如证法五；如果在推导矛盾的过程中用了题设条件p做前提，如证法三，或推导出的结果不是﹁p，如证法一、二、四，那么这样就不是证明逆否命题。

所以，说“反证法就是证明原命题的逆否命题”，仅是用反证法证明命题“pq⇒”时推出矛盾的一种特殊情况，将这一特殊情况理解为本质是不对的。如果这样去理解，那么在寻找矛盾时只会局限于与题设的矛盾，降低反证法的威力。因此，在学习反证法时必须明白其实质是“证明命题的否定是错误的”，而不是“证明否命题是错误的”，从而灵活运用这一方法去解决问题。