深化集合复习的五种意识

安徽省霍邱县第一中学(237400)冯克永

深化集合复习的五种意识

安徽省霍邱县第一中学(237400)冯克永

集合概念与运算是高中代数的重要内容之一,又是进一步学习函数和高等数学所必备的基础,同时对培养学生的思维能力,开发智力也起着十分重要的作用.由于集合问题研究方法的独特性及思维的抽象性,又使其成为一轮复习的难点.怎样在教学中突破这个难点,使学生较好地掌握这部分内容呢?应强化以下五种意识.

一、粮草意识

俗话说:“兵马未动,粮草先行.”集合部分的粮草是:集合的概念,元素与集合间的关系,集合的三种表示,集合与集合间的关系(子集、真子集、相等),常见集合的记法( N,N∗,Z,Q,R,C,∅),集合间的运算(并集、交集、补集),集合常见性质(∅⊆A;若集合A含有n个元素,则集合A的子集个数为2n个,真子集个数为2n−1个,非空子集个数为2n−1个;A∩B=B⇐⇒B⊆A,A∪B=A⇐⇒B⊆A;CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB),CI(A∩B)=(CIA)∪(CIB)等)等.

二、辨别意识

集合是高考的常考内容,而部分学生在解这类问题时常会出错,应在辨析中理解,在辨析中提升.

例1已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求实数a的值.

错解由3∈A,得a+2=3或2a2+a=3,解得a=1或

正解由3∈A,得a+2=3或2a2+a=3,由a+2=3,得a=1.当a=1时,2a2+a=3,由集合元素的互异性知a=1应舍去.由2a2+a=3,解得或a=1(舍去).当时,所以符合题意.故

评注解本题应分两步:一是根据条件3∈A解出a的值;二是对解出的a值代入集合A进行检验.但很多同学没有检验意识而导致错误,值得关注.

例2已知x,y∈R,集合A={x|y2=−x+2},集合B={y|y=x2−1},求A∩B.

错解由题意可得A={x|x≤2},B={y|y≥−1},因两集合的元素的表示记号不同,所以A∩B=∅.

正解集合A中的所有元素是使y2=−x+2的有意义的所有x值,所以A={x|x≤2}是数集;集合B中的所有元素是函数y=x2−1的所有函数值,所以B={y|y≥−1},也是数集,因此,A∩B={x|−1≤x≤2}.

评注致误原因是我们没有真正理解集合元素的意义.要使学生明确:集合{y|y=x2−1}与集合{(x,y)|y=x2−1}是两个不同对象的集合,前一个是数集,后一个是点集,代表元的定义不同.集合与集合是同一种对象的集合,都是数集,只是代表元字母不同,但也要清楚这两个集合中代表元的实际意义,对函数来讲,前一个为定义域,后一个为值域.

三、用性质及思想方法意识

1.用运算性质意识

例3设I为全集,S1,S2,S3是I的三个非空子集,且则下面结论正确的是

图1

方法二:令S1={1,2},S2={2,3},S3={2},I={1,2,3},可以排除A,B,D,故选C.

方法三:由性质CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB)可得

故选C.

评注(1)抽象集合的交集、并集、补集运算用韦恩图及用取特殊集合法排除,是解答选择题的一种重要方法; (2)为使补集参与的交集、并集、补集运算更加简化而直观,一般要用到如下两种性质:①CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB);②CI(A∩B)=(CIA)∪(CIB).

2.等价转化意识

元素是集合的灵魂,研究集合必须抓住元素,通过元素特征化归集合,使问题获解.此法是以下方法之母.

例4设集合A={x∈R|x2+4ax−4a+3=0},集合B={x∈R|x2+(a−1)x+a2=0},集合C={x∈R|x2+2ax−2a=0},试确定a的取值范围,使A∪B∪C≠∅.

解析原命题等价于:三个方程

至少有一个方程有实根,求a的取值范围.只需

评注笔者每次看到用此类题目为例来说明“正难则反”思想,总感觉例题缺乏说服力.事实上,从正面入手,又何需分为7种情形呢?只需

得x=1,因为当x∈(0,1)时,g′(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,g′(x)＜0,所以

评注抓住元素特征将此题化归为分离参数求值域,再借助导数求最值.思考的过程是痛苦的,解完后是快乐的,让人感悟数学的奇异与美妙.

3.分类讨论意识

例6已知集合A={x|x2−3x+2=0},集合B={x|x2−2x+a−1=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.

解析由A∪B=A,可知B⊆A,所以B可能是∅,{1},{2},{1,2}.

(1)当B=∅时,由方程x2−2x+a−1=0无解,可得a＞2;

(2)当B={1}时,也就是方程x2−2x+a−1=0有两个相等的根x1=x2=1,可得a=2;

(3)当B={2}时,也就是方程x2−2x+a−1=0有两个相等的根x1=x2=2,这是不可能的;

(4)当B={1,2}时,方程x2−2x+a−1=0的两根为x1=1,x2=2,这也是不可能的.

综上可得,a≥2.

评注致误原因是我们遗忘空集∅是任何集合的特殊子集.要理解A∩B=B或A∪B=A即B⊆A,解题时注意B=∅的特殊情况,避免漏解错解.

例7设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有多少种?

解析按分类计数原理作如下讨论:

(1)当A中最大的数为1时,B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24−1=15种方法;

(2)当A中最大的数为2时,A可以是{2}或{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23−1)=14种方法;

(3)当A中最大的数为3时,A可以是

B可以是{4,5}的非空子集,即有4×(22−1)=12种方法;

(4)当A中最大的数为4时,A可以是

{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}, B可以是{5}的非空子集,即有8×1=8种方法;

综上,共有15+14+12+8=49种方法.

4.函数分析意识

解析设f(x)=x2−2x+a,g(x)=x2−2bx+5.要使A⊆B,则必须使f(x)、g(x)在区间[1,3]上的函数图像落在x轴下方,即

所以满足条件的a、b的取值范围为a≤−3,且b≥3.

评注函数分析法是一种通过构造函数实现问题转化的方法,几乎渗透到数学的各个领域.在中学,函数与方程、不等式的联系尤为密切,许多问题均可构造函数,借助函数性质、图像来巧妙解决.

5.以形助数意识

例9已知集合A={x|(2x−1)2＜ax2},若A∩Z含有3个元素,求实数a的取值范围.

解析设y=(2x−1)2,g(x)=ax2在同一坐标系中画出它们的图像,通过变动图像的开口,寻找到两个特殊位置,如图2,y=a1x2,y=a2x2,当 x=3时,(2×3−1)2=a1·32,所以,当x=4时,(2×4−1)2=a2·42,所以由图像及题意得:a1＜a≤a2,所以

图2

评注把数的问题转化为形的问题,借助几何图形的直观性分析,可避开代数法的繁冗运算.

四、交汇意识

集合与其他知识的交汇,为高考增添了一道亮丽的风景线.

例10已知数集A={a1,a2,···,an}(0≤a1＜a2＜···＜an,n≥3)具有性质P:对∀i,j(1≤i≤j≤n),ai+ai与aj−ai两数中至少有一个属于A.求证:

解析因为集合A具有性质P,所以an+an与an−an中至少有一个属于集合A,又

所以an−an=0∈A,故a1=0.因为

所以(an−ak)∈A(k=2,3,...,n),又因为

所以

累加得

评注本例以集合新定义为背景交汇数列,比较新颖.数集A={a1,a2,···,an}(0≤a1＜a2＜···＜an,n≥3)具有性质P时,对∀i,j(1≤i≤j≤n),ai+ai与aj−ai两数中至少有一个属于A,可逐步分析数集A中有哪些元素,采用排除法是很自然的选择,如上面的解法中先说明(an+ak)∉A(k=2,3,...,n),从而可得(an−ak)∈A(k=2,3,...,n),再与累加相消联姻,越思越有味,越想越奇妙.

例11求集合A={(x,y)||y|−|x|≤1},B={(x,y)||y|≥x2+1}的交集A∩B所表示的图形面积.

解析集合A,B所表示的图形都关于x轴、y轴、原点对称,只需画出交集A∩B所表示的图形的第一象限部分即可(如图3),则交集A∩B所表示的图形面积

图3

评注此题把集合、图形对称、线性规划、利用定积分求面积等诸多知识点综合交汇在一起,考查学生对这些知识的掌握情况,利用对称性正确画出图形是破解此题的关键.

五、应用意识

学以致用,每一个知识都应彰显其应用价值.

例12已知条件p:|4x−3|≤1;条件q:x2−(2a+1)x+ a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

评注充要条件与集合之间关系特别暧昧,特别是用不等关系表示的充要条件问题,用集合间的关系破解,简单明了.