错中求知,错中探究,错中创新

无锡市第六高级中学(214000)李跃全

错中求知,错中探究,错中创新

无锡市第六高级中学(214000)李跃全

学生在解题过程中出现的形形色色的错误犹如一片“雾霾”笼罩教师心间,驱之不去,困惑不已.教师往往自述其因,做“正规”榜样示范,美其名曰:“传道授业解惑也”.因为这样做可以节约教学时间,增加课堂容量,便于课堂教学控制.但不久便发现,学生并没有“吃一堑,长一智”,以前所犯的错误依然“野火烧不尽,春风吹又生”.教师虽然意识到学生出错的反复性,但未能及时深刻的反思其因,往往强化训练同题型,结果导致效率低下,走进了纠错教学的误区,百思不得其解.如何走出纠错教学的困境?拨开云雾见明月,是一个非常有意义的议题.笔者通过学生展示,暴露过程,实现学生个人反思纠错,再到集体分析错因,寻求制定方案,实现生生合作探究纠错,最后师生总结拓展,实现纠错创新,错中防错.本文试图通过笔者教学实践中的两则案例,谈一些个人的体会,仅供交流,以期共同提高.

案例1

题目:如图1,在三棱柱ABC−A1B1C1中,侧面ABB1A1的面积为10cm2,对棱CC1到平面ABB1A1距离是6,求三棱柱ABC−A1B1C1的体积.

图1

师:动脑思考一下,说说你的想法,大胆尝试一下.

生1(主动起身):这个容易啊!由图可知,VABC−A1B1C1=Sh=10×6=60cm3.

师:生1还有补充吗?若没有,请坐!(生1摇摇头)师:大家赞成他的做法吗?若不同意,请说明理由.

生2:我觉得生1的做法不对.他计算的是以平行四边形ABB1A1为底面,沿着AC方向平移而形成的四棱柱体(如图2),实际上它正好是已知三棱柱ABC−A1B1C1体积的两倍,所以(此时,生1恍然大悟其错因.)

图2

师:好,请坐!大家赞成他们的做法吗?若不同意,请说明理由.

生3:我和生2方法不同,但结果相同,所以赞同生2的做法.

师:来和大家分享一下你的妙招!

生3:相比生2的“补形法”,我运用“割形法”.将已知柱体其分成三个三棱锥.连结A1C、A1B、B1C,在三棱柱ABC−A1B1C1中,

且共顶点C,即VC−A1AB和VC−A1BB1的高相等,由祖暅原理可

知,VC−A1AB=VC−A1BB1.

同理可得,VC−A1BB1=VC−A1B1C1,

所以VABC−A1B1C1=3×VC−A1B1C1=30cm3.(声音刚落)

生4(迫不及待):受到生3的启发,我运用“割形法”就将已知柱体其分成两个锥体.即连结A1C、B1C,在三棱柱ABC−A1B1C1中,

师:由于生1柱体概念不清而错用体积公式出错,但为生2提供了思想方法,虽然错误,但很有价值.基于生1的“美丽错误”,生2通过“补形法”给出其正确解法,为生3的“割形法”奠定了基础.通过领会“正难则反”的数学思想,生3创造性的运用“割形法”解决此问题,而后生4对此进行了改进优化.请用热烈的掌声感谢他们的分享!(台下掌声一片,同学生沉浸在成功的喜悦中.)

案例2

师:找出已知和未知条件,分析它们之间的联系,整理一下你的解题思路,谁试试看.

生1(信心十足):已知点P在椭圆上且∠F1PF2=60°,求S△F1PF2,我做过类似的题目.

师:那很好!说说你的思路.

师:生1依然记得此类型题目的常规解法,思路清晰,解题规范.同学们赞同生1的解题过程吗?(绝大多数同学表示赞同,最有一排有一位学生正在埋头解题,对此没有回应)

师:你在做什么呢?你赞同生1的解法吗?

生2(有些尴尬):我的做法跟他不同,结果也不同,我也不知道谁对谁错.

师:(关切目光,微笑):既然有不同,说一说你的思路,让大家一起来判断一下孰对孰错.

因为∆=−12＜0,所以方程(1)无解.我有点困惑,不知道谁对谁错.

(课前,笔者也是按生1的“整体法”做的,并未检验结果是否成立.此时突然遭遇此种情景,难免有些不安,退而避之或盲目解释,不如将错就错,发动学生的聪明才智,共同探究个所以然.)

师:很好,请坐,生1通过“整体法”求得面积,生2通过“减元思想”解方程解决问题,他们的思路和方法虽然不同,但过程感觉都是对的?结果为什么会有这么大的差异呢?同学们发挥学习小组的力量交流一下,看看谁能解释其中缘由. (此时台下三五成群,展开激烈的讨论,课堂呈现出前所未有的繁荣.片刻后)

生3(兴奋不已):老师,你以前说过高中自变量的取值是实数范围内,我们小组一致认为生2是正确的,但没找到生1错在哪里.

师(点点头赞同):很好!在实数范围内,生2的解法确实正确,但生1怎么会求出面积值呢?

生4(面露喜色):老师,就此题而言,我们小组认为生1也是正确的.

师(故作惊讶):为什么呢?解释给同学们听听.

图3

所以生1也是正确的.

(同学们面面相觑,面露疑问,重新审视生4的过程,学习气氛凝重.)

师:其它组还有没有不同看法?到底孰对孰错呢?请补充说明.

生5:我们组认为这个题有歧义,范围不明确,若在实数范围内,生2正确,若在复数范围内,生1正确.

师:好的,请坐!目前看来,同学们基本赞同生2的做法,对生1的做法,和生4的解释存有疑虑.那就认真研究一下他们的解题过程,看看是否存在“美丽的错误”.

生6(兴奋异常):老师,我发现,在复平面内,如图3,

师(满意点头):分析的很深刻!真理与谬论之间往往只有一线之遥.如果赞同他的解释,请致以热烈的掌声(此时掌声如潮水般涌来,片刻后)同学们对此问题是否还有其它疑问或问题呢?请主动说说.

生7(主动起身):在实数范围内,若在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=60°应该满足什么条件呢?

师:你提出的问题很有价值,相信我们很多同学也很关心,很好!同学们画一画,算一算,数形结合分析一下,谁能帮我们再解释一下呢?(几分钟后)

图4

师:很好!请坐!此题无解可能是老师改变题目是疏忽造成的.所以我们平时要养成细心的习惯,同学们对生6提出的疑问,还有没有不同的解决办法:

之后,生9,生10,生11分别从椭圆的焦半径、向量和基本不等式等角度,再次求得满足条件,过程不再赘述.

教学感悟

1.有的放矢,对症下药觅纠错良方

在上述的两个案例教学的实施过程中,学生犯一个思维错误或解题错误是不可避免的现象.皮亚杰的认识论认为,当学生学习知识时,总是试图用原有的认知结构来同化新知识到已有的数学认知结构中,新知识与已有的认知结构发生无法包容的矛盾,即产生认知冲突时,就会引起学生原有认知结构不平衡,产生心理不适应,使学生在思考问题时常常出错.建构主义学习观认为,学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复练习得以纠正,必须是一个“自我否定”的过程.而“自我否定”又以内在的“认知冲突”作为必要的前提.在本文案例中,当学生出现思维错误或解题错误时,笔者并未强行将学生的思维拉回到正确的轨道或面传正“道”,而是将错就错,以学生的错误为新的教学的生成点,顺势而为,激发学生的非智力因素(如兴趣、动机、意志、情感等),进一步剖析错因,引导学生反思错误的生成,提高自我诊断、自我监控的能力.将学生的“认知误区”转化为“最近发展区”,充分开发“错误”的教学价值,促进学生自我否定和内心冲突,通过充分思考,将学生已有的数学认知结构积极主动地与新知识相互作用,通过同化和顺应两种心理过程和机制,逐步达到认知新平衡,使学生主动纠错构建新知.从内部瓦解了困扰教师的形形色色的学生解题错误(主要包括知识性错误、策略性错误、逻辑性错误、心理性错误等)的心理障碍,有的放矢,对症下药觅纠错良方,从而有效防治了学生的错误如“野火烧不尽,春风吹又生”之症状.

2.以灵活的教学预设促进学生动态地纠错生成

在纠错过程中,纠错“预设”与“生成”是辩证统一的,纠错预设重视和追求的是显性的、结果性的、共性的、可预知的目标.而纠错生成重视和追求的是隐性的、过程性的、个性的、不可预知的目标.预设是生成的基础,生成是预设的升华.充分的纠错预设是纠错教学成功的保障,教条的预设势必会影响课堂教学的效果.当预设与课堂生成存在偏差时,教师应该根据课堂的生成的具体情况及时地调整预设思路,让学生的意见、思维、观点充分表达出来,然后诊断情况,作出合理的引导,而不是打断学生或强行将学生的思维拉回到预设轨道,由教师包办思维过程.教师只有正确处理纠错预设与生成,纠错课堂才可能充满生机,呈现活力.

3.丰富的纠错经验是培养学生的创新能力的沃土

当学生解决问题不可避免会出现思想认识偏差或解题困惑时,教师往往给学生机会尝试解决,若失败则心安理得,美其名曰:“传道授业解惑也”,甚至视而不见,敷衍了事,走形式化的学生主体地位或绝对化的教师主导地位的极端路线.古人云:“授人以鱼,不如授之以渔”,笔者认为,如果学生凭个人能力能够解决所犯错误,教师绝不包揽,把学生的主动权还给学生,让学生对其充分反思,深刻认识问题所在.若个人不能解决,则需教师发动学习小组或班集体合作探究,从而培养了学生团结协作的精神,培养学生学会倾听,学会取长补短的优异品质.若仍未能较好解决问题,此时需要教师发挥其主导作用,引导学生师生合作探究错误的根源,随着学习活动的不断深入,使学生从不同角度认识到问题的症结所在,并完成对知识丰富而深刻的理解,逐步建立起整合的,结构化的,灵活的,属于自己的纠错经验体系,教师要善于捕捉纠错过程中学生的“昙花一现”的想法,顺势利导,将其视为新知识与方法的生长点,引导学生从原有的经验中“生长出”新的知识经验,在丰富的知识纠错的土壤中孕育学生创新的种子.从而有效地实现了错中求知,错中探究,错中防错,错中创新的教学活动.正如荷兰数学家弗赖登塔尔曾经反复强调:“学习数学的唯一正确的方法就是实行‘再创造’也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或者创造出来,教师的任务是引导学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生.”

[1]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M],北京:北京师范大学出版社. 2006.

[2]涂荣豹,宁连华,徐伯华.中学数学教学案例研究[M],北京:北京师范大学出版社.2011.