对高中课标中假设检验内容的思考与国际比较

华南师范大学数学科学学院硕士研究生(510631)林品吟 朱源

对高中课标中假设检验内容的思考与国际比较

华南师范大学数学科学学院硕士研究生(510631)林品吟 朱源

本文对高中课标中独立性检验和假设检验的内容标准进行反思,认为独立性检验中蕴含假设检验思想,建议相关标准修正为:通过对典型案例的探究(如“肺癌与吸烟有关吗”等),了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本原理及初步应用,从中体验假设检验的基本思想,进而形成合理的统计推断观.进一步,将中国高中课标与新、美、澳、芬等四国高中课标进行对比,发现五国对假设检验内容的重视程度有很大的差异,藉此得到三点启示:假设检验在高中课标中的地位应适当提高;其标准设置应体现不同需要的学生的差异性;其相关表述应更为清晰以具备操作性.

数学课标 假设检验 独立性检验

1.言

2003年中国颁布了《普通高中数学课程标准(实验)》[1],对概率统计内容给予了重视.其中,独立性检验和假设检验内容被安排在选修1-2和选修2-3,具体要求如下:“(1)通过对典型案例的探究(如“肺癌与吸烟有关吗”等),了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用;(2)通过对典型案例的探究(如“质量控制”“新药是否有效”等),了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.”然而在实际教学,这些要求却没有得到很好的落实.黄华胜在对学生统计推断的理解的研究中发现,绝大部分学生不认可独立性检验和假设检验的说理方式,他们认为统计推断的结论存在运气成分,一次统计的结果不能说明问题[2].本文对课标中独立性检验和假设检验的要求进行反思,并与美、新、澳、芬等四国高中课标的相应内容作对比,旨在为中国后续新课标的制定提供有益建议.

2.课标要求的反思

2.1 独立性检验中蕴含假设检验的思想

独立性检验是考察两个变量是否独立的统计学方法,具体做法是:首先对两个变量的关系作假设(一般假设其独立),然后选取合适的统计量,并根据实测样本计算出该统计量的观测值,最后根据预先设定的显著性水平进行检验,做出接受或拒绝原假设的判断.其本质就是运用假设检验原理的一种特例,在课标中不应该将二者分开.然而参与人教版《数学选修1-2》和《数学选修2-3》的编写工作的李勇教授,一方面承认:“独立性检验是一种特殊的假设检验”,另一方面又指出:“专家在审查教材时,认为‘假设检验的基本原理’和‘聚类分析的基本思想’不适应于高中的知识背景,建议删除这两方面的内容”[3],则未免有自相矛盾的嫌疑.虽然,李勇教授通过绕开“原假设和被择假设”、“显著水平”等术语的知识背景介绍独立性检验原理,不失为一种好方法.但其不能视为“删除假设检验基本原理”的一种处理.既然介绍了独立性检验的原理,即使其中没有涉及假设检验的相关术语,却不可能不蕴含假设检验的思想.换言之,假设检验既是一种统计手段,又是一种统计思想.如果独立性检验的原理教学没有渗透假设检验的思想,则难免导致学生只获得工具性理解而无关系性理解.因此,高中课标既不应将独立性检验和假设检验的内容区分对待,也不应删掉假设检验而只谈独立性检验.

2.2 假设检验思想不是知识与技能目标

高中课程标准中,对独立性检验思想和假设检验思想的要求均使用“了解”这一行为动词.然而根据其目标设计的规定,“了解”是知识与技能性目标的水平之一.何小亚曾将“了解”水平的内涵概括为:能回忆出知识的言语信息;能辨认出知识的常见例证;会举例说明知识的相关属性[4].因此,知识层面的独立性检验原理和假设检验原理可用“了解”一词.而另一方面,独立性检验的思想本质上就是假设检验思想,二者不应区分,并且作为数理统计的思想是过程性目标,应该用“体验”等行为动词.

另外,国内外关于统计素养(Statistical literacy)的研究已普通认同:一个人所具有的良好的统计素养是多维度的,既包括知识与技能、在真实情境下的运用能力,也包括统计观念.其中得到最广泛认可的是Iddo Gal(2002)提出的统计素养构成要素模型(见图1)[5].以上研究趋势为我们的统计课程设置带来以下启发:(1)统计的课程目标是培养学生的统计素养,而统计素养是多维度的,既包括知识与技能,也包括过程与方法及统计情意,因此,为培养学生的统计素养,在设置教学目标时应兼顾后两者;(2)独立性检验(假设检验)作为统计推断的重要内容之一,能培养学生的统计思维、统计态度、批判性精神等,具有丰富的教学价值,在设置教学目标时不应局限于知识与技能方面.

图1 Iddo Gal的统计素养构成要素模型

2.3 修正建议

基于以上分析,建议将课标中独立性检验和假设检验内容的要求修正为:通过对典型案例的探究(如“肺癌与吸烟有关吗”等),了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本原理及初步应用,并从中体验假设检验的基本思想.

3.国高中课标的比较

近年来,中小学数学教育的国际交流与合作越来越频繁[5].与此同时,澳大利亚、美国、新加坡等发达国家陆续颁布新的数学课程标准,使得课程标准的评介和比较研究成为数学教育的一个研究热点[6−9].通过与国外高中课标的假设检验内容进行对比,可取其之长,补己之短,为中国后续新课标中假设检验内容的制定提供有益建议.

3.1 研究对象

本文将中国、新加坡、美国、澳大利亚、芬兰的高中数学课程标准作为主要研究对象.除了中国的《普通高中数学课程标准(实验)》,其他四个文件分别是:新加坡2011年颁布的高中数学课程标准(Mathematics Higher 1(S yllabus 8864)[10]、Mathematics Higher 2(Syllabus 9740)[11],简称H1和H2水平)、美国2010年颁布的《州共同核心数学标准》(Common Core State Standards for Mathematics,简称CCSSM )[12]、澳大利亚2012年颁布的《高中数学课程标准》(Senior Secondary Australian Curriculum:Mathematics,简称SSACM)[13]、芬兰2003年颁布的《全国高中核心课程》(National Core Curriculum for Upper Secondary Schools,简称NCCUSS)[14].

3.2 研究结果

3.2.1 新加坡的课标非常重视假设检验的内容

(3)取现场试验井120℃环境友好型钻井液样品测试，样品在p H值、氯化物含量、石油类、生物降解性和生物毒性等方面均符合环评标准，废弃物短期内色度明显降低，降解速度快，环保效果好。

新加坡非常重视统计知识,将H1、H2课程分为纯数学和统计两个部分.其中假设检验的内容非常全面(如下表),并且H1与H2水平的要求体现了一定的差异性.

新加坡高中数学课标中假设检验内容的要求

H1 H2 1.零假设与被择假设的概念,统计检验,显著性水平和P值. 2.基于以下情形的总体均值检验:(1)样本来自已知方差的正态总体;(2)大样本来自任意总体. 3.单尾检验和双尾检验. 1.同H1 2.基于以下情形的总体均值检验:(1)样本来自已知方差的正态总体;(2)样本来自未知方差的正态总体;( 3)大样本来自任意总体. 3.同H1. 4.t-检验.

3.2.2 美国的课标渗透假设检验的思想

美国高中数学课标的统计与概率部分有四项内容:(1)解释分类数据和度量数据;(2)做出推断与证明结论;(3)条件概率与概率规则;(4)利用概率做决策.每项内容之下还有若干具体的条目.虽然没有特别提出假设检验的概念和相关术语,但在“做出推断与证明结论”这一项中,共6个条目,其中2条(第2条和第5条)渗透了假设检验的思想:确定一个具体模型是否与给定数据产生过程的结果一致,例如一个模型认为抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5,那么抛5次硬币全部反面朝上的结果会不会导致你怀疑上述模型;使用仿真推断两个参数是否存在显著差异.在这部分内容的处理上,可认为中、美的课标有一定的相似性:均选择渗透假设检验的思想,但避开学术术语.

3.2.3 澳、芬的课标均不涉及假设检验的内容

澳大利亚的《基本数学课程》和《普通数学课程》中具有大量的概率与统计内容,具体到统计方面则涉及数据的收集、整理和分析,包括线性回归.而统计推断则只出现在《专业数学课程》的第4单元,涉及了样本均值分布、点估计、区间估计等,没有假设检验的内容.芬兰的《数学进阶大纲》在概率与统计部分提出了8条核心内容,分别为:(1)离散型和连续型统计分布;(2)分布参数;(3)数学和统计概率;(4 )组合数学;(5)概率计算规则;(6)离散型和连续型的概率分布;(7)离散型分布的均值;(8)正态分布.而《数学基础大纲》提出了5条核心内容,由于没有超越上述8条,不再赘述.从中不难发现,芬兰的高中数学课标在概率与统计部分非常重视概率论的知识,统计的内容较少.而推断统计(包括假设检验)则完全没有涉及.

3.3 分析与启示

3.3.1 假设检验内容在课标中的地位应适当提高

对比中、新、美、澳、芬等五国的课程标准可以发现,五国对假设检验内容的重视程度有很大的差异.呈现这种差异的原因可理解为各国的数学理念和数学教育理念不同,也从一个侧面反映了:相较于其他内容,假设检验未必是高中生所必须具备的统计知识与统计观念.反观中国高中数学课标,将假设检验的内容与聚类分析和回归分析一并归入统计案例一节,利用少数案例介绍这些原理及其初步应用,一方面占用了学生的课时,另一方面又浅尝辄止,使学生难以理解上述原理和其中的统计思想.改变这一尴尬局面的可能手段有两种:一是参考新加坡,提高假设检验内容的掌握要求,并为此分配更多的学时;二则是参考澳大利亚及芬兰,删掉假设检验的内容,使学生接受高等教育后,再系统地学习这方面知识.并且,从信息社会对公民统计素养的诉求来看,第一种方法尤为妥当.

3.3.2 假设检验内容的设置应体现不同需求的学生的差异性

新、澳、芬三国对假设检验内容的处理虽然有很大差异,但其课标又体现出一个共同的特点,即为不同需求的学生设置不同层次的数学.而在假设检验方面,中国的高中课标将其设置在选修1-2和选修2-3,名为选修,实为必修,同时也没有体现不同需要的学生的差异性.因此建议下一轮的课标制定,在假设检验方面根据学生的数学能力、数学兴趣以及未来发展的倾向不同,设置相应的要求层次.

3.3.3 对假设检验内容的要求应保留自主性和具备操作性

中、美两国的高中课标在处理假设检验的内容上具有一定的相似性,但两者的相异性则更为后续中国课标的制定提供有益启示.具体体现在以下两个方面:一、虽然同为渗透假设检验的思想,但美国课标没有限定具体课时和教学方式,为相应教材的编写和教学活动的开展保留了极大的自主性和灵活性.二、在具体要求的表述方面,美国课标更为清晰,因此具有较强的操作性.以上两点不仅针对假设检验的内容,对于中国高中课标中其他内容标准的制定亦有同样的启发意义.

4.记

本文就高中数学课标中独立性检验和假设检验的内容进行反思,认为相关标准应修正为:通过对典型案例的探究(如“肺癌与吸烟有关吗”等),了解独立性检验(只要求2× 2列联表)的基本原理及初步应用,并从中体验假设检验的基本思想.另外,在与新、美、澳、芬等四国的相应内容做比较后,得出启示:假设检验内容并非高中数学的必要内容,其标准设置应体现不同需要的学生的差异性,最后其相关表述也应更为清晰以具备操作性.然而,假设检验只是概率与统计领域的冰山一角.近年来,随着计算机科学的发展以及大数据时代的到来,算法、概率与统计等知识愈显重要.2003年颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》对上述内容亦给予重视.但新生事物总归是稚嫩的,需要数学教育研究者、一线教师重视这部分内容,并在教学实践中进行思考,在与他国的对比中进行完善.

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]黄华胜.学生对统计推断的理解[D].上海:华东师范大学,2014.

[3]李勇,张淑梅.关于高中教材中独立性检验知识呈现方式的思考[J].数学通报,2010,49(11):25-30.

[4]何小亚.全日制义务教育阶段数学课程标准(实验稿)刍议[J].数学教育学报,2003,12(1):45-49.

[5]谢明初.中小学数学教育国际化趋势及影响[J].外国中小学教育, 2013,12:44-49.

[6]康玥媛,曹一鸣等.中、澳、芬数学课程标准中内容分布的比较研究[J].教育学报,2012,8(1):62-66.

[7]宁连华等.新加坡数学课程标准评介[J].数学教育学报, 2013,22(4):1-5.

[8]董连春等.澳大利亚全国统一高中数学课程标准评述[J].数学教育学报,2013,22(4):16-20.

[9]廖运章.美国《州共同核心数学标准》的内容与特色[J].数学教育学报,2012,21(4):68-72.

[10]Ministry of Education,Singapore.Mathematics Higher 1(syllabus 8864)[PDF].http://www.se-ab.gov.sg.

[11]Ministry of Education,Singapore.Mathematics Higher 2(syllabus 9740)[PDF].http://www.se-ab.gov.sg.

[12]NGA,CCSSO.Common Core State Standards for Mathematics[PDF]. http://www.corestandar-ds.org.

[13]ACARA.Senior Secondary Australian Curriculum:Mathematics [EB/OL].http://www.australia-ncurriculum.edu.au/.Australian Curriculum.

[14]FNBE.National Core Curriculum for Upper Secondary Schools[EB/OL].http://www.oph.fi/do-wnload/47678_core_curricula_upper_secondary_education.