“自然数与有理数一样多”的数学证明

山东省日照第一中学 张铭哲

在百度知道里有人提了一个问题：“为什么自然数和有理数一样多？”是的，乍一看貌似是有理数多一点，因为有理数包括分数和自然数。但是，有理数的集合与自然数的集合的元素都是无限的，无限对无限，怎么用数学严格证明自然数集合与有理数集合的元素是多还是少呢？

我们可以建立映射来确定这种关系，所谓映射，实际上是一种两个集合中元素之间的关系。我们熟知的函数就是一种映射。

既是单射又是满射的映射叫作双射，也称一一对应。

相信你一定知道了，如果我们要证明两个集合中的元素个数相等，可以构造一个映射，使这个映射既是满射，又是单射。所以这个思想我们可以用来证明有理数集R与自然数集N的元素数相等（一般的，若我们称为集合X与集合Y等势，可简记为

我们再定义一个概念：若一个集合A与自然数集N等势，则称集合A为可数集（可数集都是无限集）。

一个集合A为可数集的充分必要条件是它的元素可列成一个形如的（各项不重复）无穷数列，A的每一个元素在数列中仅出现一次。

好，现在我们证明有理数集R自然数集N等势。

证明：

由有理数定义：任意一个有理数必可写为两个整数之比。

下面我们证明：任意个可数集的并都是可数集。

同样的，我们只需要变一下正负号，就可以得出负有理数集R-也是可数集。于是我们得出有理数集也是可数集，所以它也与自然数集N等势。

这样，我们就严格证明了有理数和自然数一样多。依据这个证明思路，我们可以证明整数也与自然数一样多。但是要注意，实数是不能与自然数构成双射的，因为实数中某些数，比如π，只能用无穷级数精确表示，不能构成映射，而且实数也不能排列成无穷数列，因为它是无缝的。