对一道数学几何题的探究与思考

江苏省太仓市沙溪第一中学 朱 燕

一个好的数学老师要对他所教授的知识和技能“了如指掌”，能够从单一的题目出发全面地看清整个问题的本质，才能够使自己的课堂深入浅出达到高效。这就要求老师在研究题目时，不但要会求解、引导学生求解，还要对题目进行更加深入的探索和发挥，用联系的观点使一题变“三隅”，同时也便于实施教学重难点的突破和安排解题教学之后的变式训练。下面笔者就教学中遇到的一道几何题进行探究，引导学生学会分析问题，并提高学生解决问题的能力。

一、原题呈现

如图，在△ABC中， ∠BAC=90 °，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA。（1）试求∠DAE的度数；（2）如果把原题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？（3）将原题中“∠BAC=90°”改成“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？

二、尝试解答

学生拿到题目比较兴奋，几乎无阻碍地就解决了第（1）小题，解决途径主要有两种：①将∠DAE看作∠DAC与∠CAE之和；②将∠DAE看作△ADE的内角，利用三角形内角和或外角性质解决问题。之所以能顺利解决该小题，是因为△ABC是等腰直角三角形，可得∠B=∠ACB=45°，接着利用等腰三角形的等边对等角的性质求出图中某些角的度数。但是进入第（2）小题时教室安静了下来，虽然学生猜想角度不会变，但不知如何解答，解决问题的思维遇到阻碍。

三、分析引导

第（1）小题应该是问题解决的起点，何以能解决∠DAE的度数，关键是利用∠B与∠ACB的度数能求出其余角。那为何第（2）小题让学生觉得无从下手呢？关键还在于学生不能从特殊到一般地做关联性探究。所以，讲题要设计相应的教学环节，给学生以引导。在第（2）小题学生遇到思维瓶颈时，教师适时抛出问题：“请同学们试着给定∠B（或∠ACB）一个度数（0°～90°），再求出∠DAE的度数。”多次尝试后学生会发现本题的关键所在，分析出事物运动变化的规律及相互制约的因素，参变量自然而然就引出来了。

解题策略：设∠B的度数为x（0°＜x＜90°）,则∠ACB=90°-x，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠BDA=90°最后由三角形外角性质可求得∠DAE=45°。

由于有了第（2）小题做铺垫，学生在思考第（3）小题时已渗透了从特殊到一般的数学思想方法，引入相关变量作为参数，以参变量为桥梁，沟通变量之间的联系，明确相关几个变量之间的关系，那么就会有利于揭示运动变化的本质规律，而且能把变化中的多个状态统一体现于一个字母化的参变量上，借用统一的表达式进行研究，实现以“静”——不变的表达式，制“动”——不同的状态，为研究运动过程中的共性规律拓宽渠道。

解题策略：设∠B的度数为x（0°＜x＜90°）,则∠ACB=x，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠BAC=180°-2x，最后由三角形外角性质可求得∠DAE=90°-x，由此可发现

四、问题再探

将原题中“∠BAC=90°”改成“∠BAC＞90°”，并且删除条件“AB=AC”，其余条件不变，那么还成立吗？

解题策略：本题中∠B与∠ACB没有直接关联，所以需要引入两个参变量。可设∠B的度数为x，∠ACB的度数为y（0°＜x＜90°，0°＜y＜90°）,则由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠BAC=180° -x-y，最后由三角形外角性质可求得∠DAE=90°由此可发现∠BAC,结论仍成立。

五、知识迁移

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在斜边AB上， 且BA=BD，CA=CE,求：①∠DAE的度数；②将原题中“∠BAC=90°”改成“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？

合理的变式训练是对知识结构的梳理过程，也是提取数学思想方法、加强知识应用、完成对数学知识概括的关键时刻，此时要求学生正确剖析并提取其中所蕴含的数学思想方法。

解 题 策 略： ① 设 ∠B的 度 数 为x（0° ＜x＜90°）,则∠C=90°-x，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得最后由三角形内角和定理可求得∠DAE=45°。②本题中∠B与∠C没有直接关联，所以需要引入两个参变量。可设∠B的度数为x，∠C的度数为y（0°＜x＜90°，0°＜y＜90°）,则∠BAC的度数为180°-x-y，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得最后由三角形内角和定理可求得由此可发现

六、感悟

“从特殊到一般”是研究数学问题的常见思路，对题目进行拓展变式恰好利用了这种研究思路，同时对题目深度探究也是数学解题教学研究的重要组成部分，更是教师提升教学效果、升华学生思维和技能的重要途径，因此，只有教师善于做并经常做这项工作，才能将“树木”变成“森林”。问题解决的经验，是关注起始问题提供的起点，一是知识起点，二是方法起点，但经验也要再积累。有的题目从小问题提供的知识起点或方法起点就能直接用于问题解决，有的题目却难以奏效，这时候就必须把起点从特殊向一般转化。

教师在解题教学备课时，解完一个题之后不要着急去解下一个题，而是回顾一下自己解题的全过程，联想一下题目中的条件逐渐减弱结论是否还成立，如把特殊角变成一般角；反之，将条件逐渐加强能否产生新的结论。如果教师把这一项工作做到精致并呈现在课堂中，那么学生也会觉得上课干净利索，课堂有一个中心思想。现代教育要求培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新能力，既然要求学生将来有这样的素养，那么教师要首先做到。如果一个教师的课堂总是就题论题，不能推陈出新，不能从联系的观点看待零散的问题，不能从特殊到一般地研究问题，就不能够在行为上和思想上潜移默化地影响学生，那么只具有“言传”而缺乏“身教”的课堂的效率就会大打折扣。

[1]董林伟.从形式走向本质：关于初中数学探究活动教学的思考[J].中国数学教育（初中版），2011（11）：2-5.

[2]黄庆锋.学习迁移理论在高中数学教学中的应用研究——培养和提高数学学习迁移能力的探索[D].上海师范大学，2012：21-30.