例谈有关两个参变量问题的几种解题方法

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510820)

在历年高考试题和模拟试题中常常出现一类涉及两个参变量的难题．这类试题主要考查参变量的求值或取值范围．它初看起来无从下手、思路不明，但仔细思量、推敲便会豁然开朗．笔者就有关两个参变量问题分别从线性规划、方程思想、几何性质、向量运算、不等式性质等多角度进行析疑解惑，从而体现出浓浓的“高考味”．现举例说明．

一、借用线性规划解决两个参变量问题

有这样的一类题，看似熟悉、简单的方程，却因含有两个参变量使得问题变得更加复杂，此时可根据题目的条件转化为一类不等式组，借助线性规划知识将问题解决．

分析此题考查了含有两个参变量的一元二次方程根的分布情况．解决此题关键在于：将方程转化函数，运用函数的零点存在定理，借助线性规划知识将问题解决．

当直线经过原点与直线2a+b+3=0平行时，k=-2为最小

例2 已知函数f(x)=|xex+1|，关于x的方程f2(x)+2sinα·f(x)+cosα=0有四个不等的实根，则sinα-cosα≥λ成立，则实数λ的最大值为____．

分析此题考查了函数、方程、不等式、三角函数等多个知识点结合的综合题．本题难点：含有绝对值符号及两个参变量．解决此题的关键：重在转化，借助图形，利用线性规划知识将问题解决．

解如图2，f(x)=|xex+1|.

当x>0时，f(x)=xex+1，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x<0时，f(x)=-xex+1，令f′(x)=0,解得x=-1.

所以当x<-1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当<-1

二、借用方程思想解决两个参变量问题

有这样的一类题，看似熟悉、简单的函数，却因含有两个参变量使得问题变得更加复杂，此时可根据题目的条件把它转化为方程，借用方程组消元将问题解决．

分析此题涉及含有两个参变量的一元二次不等式．由于涉及两个参变量，难度增加，解决此问题关键：转化为一元二次函数，运用分类讨论，列方程组消元可求得两个参变量的值．

三、借用平面几何性质解决两个参变量问题

有这样的一类题，条件中涉及几何背景的知识，且含有两个参变量．此时，借用平面几何性质，观察图形特征，问题会更容易让人理解．

例4 (2009年高考重庆卷文)把函数f(x)=x3-3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2，若对任意的u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为( ).

A．2 B．4 C．6 D．8

分析此题考查了函数图象的运动变化．困难所在：涉及两个参变量．问题是：在图象之间如何找到至多只有一个交点．

解决此题的关键：画出两个图象，观察图形，运用平面几何性质，找出极大值和极小值，进而找到参变量v的最小值．

解利用导数方法作函数f(x)=x3-3x的图象C1，如图4所示，然后作平移变换得到C2，观测图象只有在v≥f(x)极大值-f(x)极小值=4时对任意u>0(表示图象向右平移)曲线C1与C2至多一个交点．故选B．

(1)求椭圆的方程；(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程．

分析此题考查了直线与椭圆相结合的综合问题．第二问涉及两个参变量，若直接列方程组，方法简单，但运算复杂，学生只能可望而不可及；若从平面几何的对称性质，观察图形，问题会变得简单．

(2)将直线方程y=kx+m代入椭圆方程，

整理，得(1+k2)x2+8mkx+4m2-8=0.

因为k≠0，所以m=0.

因为当m=0时，B，C关于原点对称，设B(x,kx)，C(-x,-kx).

因为AB⊥AC，A(2,1),

四、借用向量运算解决两个参变量问题

有这样的一类题，条件中涉及到平面向量的基本定理．由于涉及含有两个参变量让人无从下手．解决此问题方法：一方面可以采用向量的加、减法原理求出两个参变量的值；另一方面也可以用数量积列出方程组求解．当然，有时采用法向量消元更加方便、快捷．

解如图6，(1)略.(2)∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=360°-150°-120°=90°,

所以∠COD=∠AOC-90°=120°-90°=30°,

∠BOD=360°-∠AOB-90°=360-150°-90°=120°.

分析对于这样的一个图，许多人自然会想到建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算可求得；若细心观察图形发现a是小正方形两端点的对角线，且向量c点的起点及向量b的中点都在小正方形的顶点上，平移向量a即可构成一个三角形，利用向量的三角形法则可得c=λa+μb(λ,μ∈R)．

解析由图7B可知，向量b的中点经过点E(小正方形的一个顶点)，向量c的起点F是小正方形的一个顶点，连接EF，构成一个三角形.

五、借用绝对值不等式性质解决两个参变量问题

有这样一类题，条件中含有绝对值符号，若用去绝对值符号则需要进行分类讨论，加上涉及两个参变量，本来复杂的题变得难上加难．此时，恰当运用绝对值不等式性质会有意想不到的效果．

例8 设f(x)=|log2x+ax+b|(a>0)在区间[t,t+2](t为正数)上的最大值为Mt(a,b)，若{b|Mt(a,b)>1+a}=R,则实数t的最大值( ).

分析此题考查了含有绝对值符号的函数．学生思维障碍是含有多个参变量及绝对值符号．解决此问题的关键：去绝对值不等式符号，应用其性质可以避免了分类讨论，此题就可快速解决．

总而言之，在涉及到多个参变量的创新型试题是培养学生能力、优化学生思维品质的极好素材，应引起广大师生足够重视．