论无穷小量与极限的关系

摘 要：无穷小量属于级数数列的无穷小项，但极限不属于级数数列的项，极限是数列所体现的数集所不能达到的界限。无穷小以及余数无穷小仍属于一个（不可预测的）数域，所以，极限和无穷小是两个不同的数和数域。

关键词：数域 数集 极限 无穷小量 余数无穷小量

引 言

本文相继《论极限概念的狭义性及极端猜想》，把数列化为数集的表达形式，引入余数无穷小量的概念，论述了极限和无穷小量的关系，理论继续表明，极限概念具有局限性，仍没有很好的解决无限问题。

一、无穷小连和极限0的关系

《论极限概念的狭义性及极端猜想》一文，只是以类似日取5分的级数数列的有限项化为小数形式，论述了無穷小量与极限的关系，用无穷小量属于半有理数的性质证明了极限是0，并不可能说明无穷小量就是0的观点。

这里仍然以日取5分的问题为例来论述无穷小量和极限的关系。

在不影响无限性质的最小数的假设、无限循环小数的末尾数的表达以及半有理数的定义的基础上，是可以比较某些无穷小量的大小的。

例如，0.999……9视为最大的纯小数。0.000……1视为最小的小数（正数）以及把999……9视为最大的奇数，把1000……0视为最大的偶数（及自然数包括正整数）。

比如日取9分的无穷小量和日取5分的无穷小量做比较，很明显日取9分的无穷小量要大于日取5分的无穷小量。即日取9分的余数无穷小量要小于日取5分的余数无穷小量。

根据其规律，日取9分，日取8分等的余数无穷小量都要小于日取5分的无穷小量。理论上，日取9分的余数无穷小量也可当做日取5分的极限。也就是说，无穷小量虽然是个数域，数域之间也是存在绝对性的大小差别的。所以，从这个性质来分析，类似日取5分的极限是0就存在极大的不准确性，极限也不是唯一的。

（二）极限在应用中的问题。极限概念拓展到微积分也是存在问题的，可以把微分和微积视为极限概念在实际中的应用。比如切线的定义，动点无论以什么样的方式沿曲线运动，其极限都是切线，但由于靠近定点的方式都不是相同的，距离定点的余数无穷小是不同的，所谓的切线就不是十分确定的，是一个区域性质。所以，用极限来定义切线同样是模糊的。

同样，类似于同等高度的物体的平抛运动，现代理论所描述的同时落地的问题，无论初速度是不同的还是质量是不同的都必须是同时落地，这类问题也是可以用极限的数学形式来证明。也就是说极限概念的局限性也影响了物理问题的正确性。

也就是说，极限概念的引入，在解决实际问题时仍然存在模糊的性质，甚至是错误的。

（三）无限的不可测性。理论上，无限是不可测的。而且用科学的方法解决无限问题也是有局限性的。科学是具有可证伪性的，虽然无限不属于不可证伪的问题，但是无限具有无法证伪的性质，因为科学是人类的产物。人类的能力是有限的，以有限的能力解决无限的问题必将存在模糊不清甚至错误的判断方法及操作过程。所以，数学和科学一样，在无限的问题上是可以假设最小概念的，在最小的假设的基础上来总结出较为完美的宏观理论。而微观的人类没能力直观的无穷小领域，是要靠遵循宏观规律来推理的，而不是勉强的形式描述。

如果说，科学必须具备数学模型来辅助，那么根据《自由运动论》的相关理论，自然规律必须是一样的，不存在宏观和微观的区别。所以现代科学中宏观和微观规律的不统一，与数学的有限和无限的不统一如出一辙的存在错误。是说，在《自由运动论》的基础上，物理学，科学必须存在一个规律，而数学也必须存在一个规律，无限和有限必须遵循一个规律。

四、结论

无穷小量和极限的引入并没有很好地解决无限问题，甚至存在错误。只有在不影响无限性质的基础上，继续引入最小数、半有理数、无限循环小数的末位数的表达形式以及余数无穷小量等概念，才有可能辅助极限概念比较清晰、合理地描述部分无限问题。

参考文献

[1] 咸立德.论数的不确定性对数论的影响及其解决办法 [J]魅力中国 2010（12）

[2] 咸立德.论极限概念的侠义性及其极端猜想 [J]魅力中国 2011（2）